Matematické Fórum

myšulka · 25. 12. 2010 10:58

Zdravím dostala jsem od taťky tuto záludnou úlohu a nevíme si s ní ani jeden rady jak to vypočítáme:
Cyklista jede z města A z kopce průměrnou rychlostí 40 kim/hod do města B
Z města B jel do kopce průměrnou rychlostí 15 Km/hod.
jaká je celková průměrná rychlost cyklisty z města A do města B a zpět?

První co jsem udělala je že jsem sečetla obě průměrné rychlosti tedy 40+15=55
a to jsem pak vydělila dvěmi tedy 55/2=27,5
tak jak se průměr počítá ale prý je to špatně
prosím poraďte

Pavel · 25. 12. 2010 12:16

↑ myšulka:

Průměrnou rychlost vypočítáš tak, že určíš celkovou vzdálenost, kterou cyklista ujel, a celkový čas. Průměrná rychlost je pak jejich podílem.

1. cyklista ujel z A do B dráhu $s$ za čas $t_1=\frac s{40}$

2. cyklista ujel z B do A dráhu $s$ za čas $t_2=\frac s{15}$

celková dráha je $s+s=2s$ , celkový čás je $\frac{s}{40}+\frac s{15}=\frac{11s}{120}$

průměrná rychlost je $v=\frac{2s}{\frac{11s}{120}}=\frac{240}{11}\stackrel{\cdot}{=}21{,}8$

teolog · 25. 12. 2010 12:20 — Editoval teolog (25. 12. 2010 12:21)

↑ myšulka:
Přeji krásné sváteční dopoledne.
Musíte si uvědomit, že cyklista jel do kopce mnohem delší dobu, takže prostý aritmetický průměr použít skutečně nelze. Musíte zohlednit různý čas, který cyklista potřebuje ke zdolání každé cesty. Poku budeme brát, že cesta dolů trvala t hodin, pak cesta nahoru musela trvat t*40/15 hodin. Takže obě cesty trvaly celkem t*11/3 hodin.
Nyní budeme každou rychlost násobit časem, po jaký měl cyklista danoi rychlost a vše vydělíme celkovým časem.
$\frac{40t+\frac{40}{15}\cdot 15t}{\frac{11}{3}\cdot t}=21,\bar{81}$ .

Dioxid

Kdyby se to už mělo počítat pomocí průměru, tak bych použil vážený průměr, protože obě poloviny cesty jel jinak rychle - tudíž mají jinou "váhu" a bude na ně nahlíženo jinak.
Takto by vypadal vzorec pro vážený průměr n hodnot (označeno h) s příslušnými váhami (označeno v):
$p=\frac{v_1h_1+v_2h_2+...+v_nh_n}{v_1+v_2+...+v_n}$

S váženým průměrem se většina lidí setkává poprvé, když si počítají průměr známek a některé známky mají vyšší váhu, proto se např. počítá dvakrát.

myšulka · 25. 12. 2010 20:40

děkuji mnohokrát a přeji pohodové prožití svátků

check_drummer · 27. 12. 2010 11:44

Jedná se o tzv. harmonický průměr čísel v1 a v2 (obou rychlostí). Myslím, že s váženým aritmetickým průměrem si nevystačíme.

Dioxid

$\frac{40\cdot 15+15\cdot 40}{15+40} =21,\bar{81}$
Rychlostí 15km/h pojede 40 časových jednotek (jede pomaleji) a rychlostí 40 km/h pojede 15 časových jednotek (jede rychleji). Pomocí vážného průměru to tedy jde celkem snadno.

U harmonického průměru to vyjde též:
$\frac{2}{\frac{1}{15}+\frac{1}{40}}=21,\bar{81}$

Mě to přijde přirozenější počítat váženým aritmetickým, ale záleží na člověku ;)

check_drummer · 29. 12. 2010 19:38

↑ TomDlask:
Vážený aritmetický průměr si představuji tak, že váhy a vlastní hodnoty na sobě nezávisí - kdežto v tomto případě tomu tak není - pro různé hodnoty $v_i$ bude nutné volit různé hodnoty $h_i$ , abychom získali správnou hodnotu průměru.

Dioxid

Ano, obecně na sobě nezávisí, toto je speciální případ, kde tomu tak je. Samozřejmě je nutné správně dosadit, abychom dostali požadovaný výsledek a ne nějakou blbost.

Matematické Fórum

#1 25. 12. 2010 10:58

vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

#2 25. 12. 2010 12:16

Re: vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

#3 25. 12. 2010 12:20 — Editoval teolog (25. 12. 2010 12:21)

Re: vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

#4 25. 12. 2010 17:42 — Editoval TomDlask (25. 12. 2010 17:43)

Re: vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

#5 25. 12. 2010 20:40

Re: vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

#6 27. 12. 2010 11:44

Re: vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

#7 29. 12. 2010 17:16 — Editoval TomDlask (29. 12. 2010 17:17)

Re: vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

#8 29. 12. 2010 19:38

Re: vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

#9 29. 12. 2010 20:36 — Editoval TomDlask (29. 12. 2010 20:37)

Re: vypočítání průměrné rychlosti cyklisty jedoucího tam a zpět

Zápatí