Matematické Fórum

easy · 04. 01. 2011 19:25

Dobrý den,

nejprve bych se chtěl zeptat jaký termín se používá v češtině pro "roots of unity"? Hádám něco jako kořeny jedničky ale nejsem si jistý.

Při počítání příkladů s "roots of unity" jsem narazil na toto.

CZ: Dáno, že $\omega$ je komplexní kubický "kořen jedničky", ${\omega}^3 = 1$ a $1 + \omega + {\omega}^2 = 0$ . Zjednodušte výrazy $(1+3\omega + {\omega}^2 )$ a $(1 + \omega + 3{\omega}^2)$ a najděte jejich součet a součin.

Nejprve jsem napsal ${\omega}^3 = 1$ jako $(\omega - 1)({\omega}^2 + \omega + 1)$ .

Výraz $(1+3\omega + {\omega}^2 )$ jsem přepsal jako
$1 + \omega + {\omega}^2 + 2\omega$ , ze zadání vím, že $1 + \omega + {\omega}^2 = 0$ , dosadím toto do mojí upravené rovnice a dostanu $2\omega$ . Odtud už nevím, jak dál.

Mohl by mě někdo jen popostrčit? Pravděpodobně něco jen přehlížím..

Děkuji.

zdenek1 · 04. 01. 2011 19:43

↑ easy:
Protože máš zjednodušovat, tak $2\omega$ je odpověď.
pro ten druhý máš $2\omega^2$
Součin: $2\omega\cdot2\omega^2=4\omega^3=4$
Součet: $2\omega+2\omega^2=2(\omega^2+\omega+1)-2=-2$

easy · 04. 01. 2011 19:46

Aha, děkuju moc. Celou dobu jsem se snažil dostat vlastní číslo z jednotlivých výrazů, mátlo mě že mám najít součin a součet.

zdenek1 · 04. 01. 2011 19:52

↑ easy:
Můžeš dostat hodnotu $\omega$ jednoduše tak, že vyřešíš v komplexních číslech kvadratickou rovnici $\omega^2+\omega+1=0$ . ALe budeš mít dvě řešení. A je to zbytečné.

Pavel Brožek · 04. 01. 2011 21:02

↑ easy:

Ještě k překladu „roots of unity“:

„cube root“ je třetí odmocnina a „unity“ je jednotka. „cube root of unity“ je tedy třetí odmocnina z jednotky.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2011 19:25

Roots of Unity - komplexní čísla

#2 04. 01. 2011 19:43

Re: Roots of Unity - komplexní čísla

#3 04. 01. 2011 19:46

Re: Roots of Unity - komplexní čísla

#4 04. 01. 2011 19:52

Re: Roots of Unity - komplexní čísla

#5 04. 01. 2011 21:02

Re: Roots of Unity - komplexní čísla

Zápatí