Matematické Fórum

misa · 08. 01. 2011 16:09

Je dána úsečka AB kde A[0,0] a B[3,-1]. Nalezněte m-vrcholy C,D rovnoběžníku ABCD, jehož obsah je roven 1.Najděte všechna řešení.
Nevím jak začít, prosím o radu...

Olin · 08. 01. 2011 16:22

Obsah rovnoběžníku se spočte jako "základna krát výška". Základna má v našem případě délku $\sqrt{10}$ , tedy výška bude $\frac{1}{\sqrt{10}}$ . Strana CD tedy bude ležet na přímce ve vzdálenosti $\frac{1}{\sqrt{10}}$ od strany AB.

misa · 08. 01. 2011 16:24

↑ Olin:Tyhle výpočty mám také, ale já nevím, jak zjistím ty konkrétní mřížové body.

Olin · 08. 01. 2011 16:37

Aha, ty m-vrcholy znamenají, že leží v mřížových bodech, jo? No, asi bych postupoval tak, že bych si našel rovnice těch dvou přímek, na kterých může strana C, D ležet, a nějak zjistil, kdy mají celočíselná řešení.

Pokud uvažuji správně, tak by jedna tato přímka měla procházet bodem $\[0,\, \frac 13\]$ a druhá $\[0,\, -\frac 13\]$ .

misa · 08. 01. 2011 16:45

↑ Olin:Přesně tak, jsou to mřížové body. Už jsem našla i spoustu dvojic bodů C,D, které splňují tu podmínku obsahu. Teď už jen chybí nějak ty výsledky zobecnit :-(
mám např. C[4,-1] D[1,0]
další C[7,-2] D[4,-1]
další C[1,0] D[-2,1]
Tyhle jsou "nad" úsečkou AB
A pak jsou tedy ještě pod AB:
C[2,-1] D[-1,0]
C[5,-2] D[2,-1]
....

misa · 08. 01. 2011 16:50

↑ misa: Tak mi teď asi došlo, vede to na Diofantovskou rovnici x+3y=1 ?

Olin · 08. 01. 2011 17:36

Souřadnice bodů C "nad" AB na to docela vypadají.

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2011 16:09

analytická geometrie, rovnoběžník

#2 08. 01. 2011 16:22

Re: analytická geometrie, rovnoběžník

#3 08. 01. 2011 16:24

Re: analytická geometrie, rovnoběžník

#4 08. 01. 2011 16:37

Re: analytická geometrie, rovnoběžník

#5 08. 01. 2011 16:45

Re: analytická geometrie, rovnoběžník

#6 08. 01. 2011 16:50

Re: analytická geometrie, rovnoběžník

#7 08. 01. 2011 17:36

Re: analytická geometrie, rovnoběžník

Zápatí