Matematické Fórum

PokecCZ · 08. 01. 2011 19:34

Máme diferenciální rovnici:

$x'+x=f_{(t)}$ , kde $f_{(t)} = 5cos2t, t = <0;\frac\pi2)$ a $f_{(t)} = 0, t = <\frac\pi2;\infty)$ .

... řešíme Laplaceovou transformací ...

Dopočetl jsem se k výsledku:

obraz funkce: $f_{(t)}=5\frac{p}{p^2+4}-5e^{-\frac\pi2p}(\frac{p}{p^2+4}+\frac\pi{2p})$

po dosazení do funkce a úpravě dostanu:

$X_{(p)}=\frac{p+4}{p^2+4}-5e^{-\frac\pi2p}(\frac{p}{p^2+4}+\frac\pi{2p})*\frac1{p+1}$

první interval $<0;\frac\pi2)$ mi vychází - to je zpětná transformace z $\frac{p+4}{p^2+4}$

druhý interval, který se má vypočítat z $-5e^{-\frac\pi2p}(\frac{p}{p^2+4}+\frac\pi{2p})*\frac1{p+1}$ mi ovšem stále nechce vyjít, jak lze interval správně dopočítat?

Nebo jsem udělal chybu už někde dříve?

Moc děkuji

PokecCZ · 09. 01. 2011 12:56

nikdo neví? :(

jelena · 09. 01. 2011 13:03

Zdravím,

právě jsem kontrolovala - mně se nezdá člen v rámečku (odkud se vzal - myslím, že nemá být) a minus před 5 v závorce: $f_{(t)}=5\frac{p}{p^2+4}-5e^{-\frac\pi2p}(\frac{p}{p^2+4}\boxed{\frac\pi{2p}})$ .

Zkus to projit s materiálem, teď nemám čas na podrobnější kontrolu, ale snad pomůže.

PokecCZ

↑ jelena:
materiál mám pročtený :) ... bohužel zatím tuto kapitolu nechápu, druhý člen vznikl transformací $\frac\pi2$ , mohu to zapsat i jinak:

$f_{(t)}=5\frac{p}{p^2+4}+5e^{-\frac\pi2p}(\frac{p}{p^2+4})$ , budu-li ale pokračovat s počtem vznikne mi:

$e^{-\frac\pi2p}(\frac{p+4}{p^2+4}-\frac1{p+1})$ , problém je, že po zpětné transformaci mi vznikne pro druhý interval (u goniometrických funkcí je posun o $\pi$ ):

$-2sin(2t)-cos(2t)-e^{-(t-\frac\pi2)}$ a přitom by správný výsledek měl být pouze $-e^{-(t-\frac\pi2)}$ - to znamená bez té první části.

Ale proč? Kde je chyba?

jelena · 09. 01. 2011 15:19

↑ PokecCZ: já si to zkusím napsát - co mi vychází, dosud jsem se nedostala k desce vlastního stolu, ale už ano, už na ni vidím :-)

PokecCZ · 09. 01. 2011 15:23

↑ jelena:
díky moc :)

jelena · 09. 01. 2011 15:43

začala jsem psát - nechybí počáteční podmínka x(...)=...? Děkuji.

PokecCZ · 09. 01. 2011 15:48

↑ jelena:
máš pravdu, ta je: $x(0+)=1$

jelena · 09. 01. 2011 16:19

vyšlo mi:

$X(p)=\frac{1}{p+1}+\frac{5p}{(p^2+4)(p+1)}+5e^{-\frac{\pi}{2}p}\cdot \frac{p}{(p^2+4)(p+1)}$

po rozkladu na parciální zlomky:

$X(p)=\frac{p}{p^2+4}+\frac{4}{p^2+4}+e^{-\frac{\pi}{2}p}\cdot$\frac{p+4}{p^2+4}-\frac{1}{p+1}$$

souhlasi to?

PokecCZ · 09. 01. 2011 16:29

↑ jelena:
díky za výpočet, ano s výsledkem, který vyšel mě to souhlasí, bohužel po zpětné transformaci mi to nesouhlasí s výsledkem dle učebnice (viz níže)

PokecCZ napsal(a):
↑ jelena:
materiál mám pročtený :) ... bohužel zatím tuto kapitolu nechápu, druhý člen vznikl transformací $\frac\pi2$ , mohu to zapsat i jinak:

$f_{(t)}=5\frac{p}{p^2+4}+5e^{-\frac\pi2p}(\frac{p}{p^2+4})$ , budu-li ale pokračovat s počtem vznikne mi:

$e^{-\frac\pi2p}(\frac{p+4}{p^2+4}-\frac1{p+1})$ , problém je, že po zpětné transformaci mi vznikne pro druhý interval (u goniometrických funkcí je posun o $\pi$ ):

$-2sin(2t)-cos(2t)-e^{-(t-\frac\pi2)}$ a přitom by správný výsledek měl být pouze $-e^{-(t-\frac\pi2)}$ - to znamená bez té první části.

Ale proč? Kde je chyba?

konkrétně zpětná transformace z $e^{-\frac\pi2p}(\frac{p+4}{p^2+4}-\frac1{p+1})$ ...

jelena · 09. 01. 2011 16:46

↑ PokecCZ: no a při tom posunu - nevyruší se část se sin, cos? cos(pi)=-1 sin(pi)=0 a pod.?

PokecCZ · 09. 01. 2011 16:57

↑ jelena:
jestli jsem správně pochopil zpětnou transformaci pak ta část se sin a cos je:
$cos(2(t-\frac\pi2))+2sin(2(t-\frac\pi2))$

... po posunutí o $2*-\frac\pi2$ to pak vychází:

$-2sin(2t)-cos(2t)$

... a to se dle mého nevyruší, nebo ano?

jelena · 09. 01. 2011 18:47

↑ PokecCZ: a ten váš výsledek je rozepsán na 2 intervaly (tak jak je v zadání)? Není to jen problém se zápisem výsledku?

Teď jsem se dívala do materiálu a my v podstatě řešíme příklad 16 z kapitoly 6.

PokecCZ · 09. 01. 2011 19:10

↑ jelena:

Aby tedy nevznikaly zmatky ...

Zadani:

Reseni:

P.S.: moc děkuji za pomoc a čas strávený nad tímto příkladem :)

Jedná se příklad 9b

PokecCZ · 09. 01. 2011 19:18

↑ jelena:
Zajímavé, skutečně se jedná o velice podobný, vlastně stejný, příklad a výsledek je totožný. Zbývá tedy jediné - jestli můžu ještě otravovat :). Jakým způsobem (dle jakého pravidla) se ve vzorovém příkladu zbavili sinu a cosinu při "přepsání" do výsledku pro jednotlivé intervaly?

jelena · 09. 01. 2011 19:20

↑ PokecCZ: děkuji :-)

teď se prosím podivej na zápis výsledku v příkladu 16 z kapitoly 6 (obě varianty zápisu) od paní Hyánkové a na text hned na úvod kapitoly 4.

Celou dobu (ani nevím proč) jsem tomu rozuměla, že výsledek je pouze jeden, ne pro 2 intervaly. Už v pořádku?

PokecCZ · 09. 01. 2011 19:26

↑ jelena:
Stále mi není jasné to zbavení se sinu a cosinu, to bude ovšem způsobeno mojí natvrdlostí, takže se tím nějak prokoušu, ještě jednou dík.

jelena · 09. 01. 2011 23:17

↑ PokecCZ: ani ne, tam nejde o zbavení, ale o jinou formu zápisu. Zkus pořádně projit text ve všech kapitolách, poznámky jsou užitečné.

Nějaký teoretický výklad v mém provedení by působil navysost směšně, do toho se pouštět nebudu, téma označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2011 19:34

Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#2 09. 01. 2011 12:56

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#3 09. 01. 2011 13:03

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#4 09. 01. 2011 14:30 — Editoval PokecCZ (09. 01. 2011 14:36)

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#5 09. 01. 2011 15:19

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#6 09. 01. 2011 15:23

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#7 09. 01. 2011 15:43

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#8 09. 01. 2011 15:48

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#9 09. 01. 2011 16:19

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#10 09. 01. 2011 16:29

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

PokecCZ napsal(a):

#11 09. 01. 2011 16:46

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#12 09. 01. 2011 16:57

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#13 09. 01. 2011 18:47

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#14 09. 01. 2011 19:10

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#15 09. 01. 2011 19:18

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#16 09. 01. 2011 19:20

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#17 09. 01. 2011 19:26

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

#18 09. 01. 2011 23:17

Re: Laplaceova transformace - translace/jednotkoví skok

Zápatí