Matematické Fórum

karkulka · 08. 05. 2008 10:31

je-li x v R pak resenim soustavy rovnic je
tg x = 1
sin x = \sqrt2 /2

prosim o postup s prikladem a jestli byste mi mohli poradit s tvarem kpi a 2kpi, kdy se jaky tvar pouziva???

urci mnozinu vsech x nalezicich do R, pro ktera plati
|cos2x|>nebo= -1
prosim o vysvetleni proc se jedna o R????

robert.marik

|cos2x|>nebo= -1

absolutní hodnota je vzdy nezáporná, tj. je vzdy mimo jiné větší než -1

proto je oborem pravdivosti vsechno, co patri do definicniho oboru funkce cos(2x), tj cele R

robert.marik · 08. 05. 2008 11:12

tg x = 1 ---> x=pi/4+2kpi a x=5pi/4+2kpi
sin x = \sqrt2 /2 ---> x=pi/4+2kpi a x=3pi/4 + 2kpi

protoze tam je sinus, budem pracovat s periodou 2*pi
prunik je pi/4+2kpi

Ale nejlip to jde videt na jednotkove kruznici.

Olin · 08. 05. 2008 11:14 — Editoval Olin (08. 05. 2008 11:15)

1)
Asi nejpřímější metodou je převést tangens na podíl sinu a kosinu, takže máme
$\sin x = \frac{\sqrt 2}{2}\nl \frac{\sin x}{\cos x} = 1\nl \nl \frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{\cos x} = 1\nl \cos x = \frac{\sqrt 2}{2}\nl x_1 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\nl x_2 = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$

Vidíme ovšem, že $\sin x_2 = -\frac{\sqrt 2}{2}$ , jediným řešením tedy je
$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$

2) Absolutní hodnota je vždy nezáporná, takže to platí pro všechna reálná.

EDIT: Pozdě :-(

karkulka · 08. 05. 2008 14:46

↑ Olin: prosim prosim, jak jsi dopocital ten koren x_2??? ja to v tom proste nevidim..(ne jen v tomto pripade, ale nikdy!!!)
jinak dekuju moc za vysvetleni....

Jorica · 09. 05. 2008 00:42

↑ karkulka:
Sice dotaz nesmeroval ke me, ale pokusim se odpovedet. Nejlepe lze vsechna reseni urcit z jednotkove kruznice

Hodnoty funkce kosinus vynasis na vodorovnou osu. ve stredu kruznice je hodnota nula, polomer kruznice je roven jedne, takze si na vodorovnou osu vyznacis hodnotu $\frac{\sqrt 2}{2}$ . Kdyz vyneses kolmici v tomto bode, dostanes ne jeden, ale dva pruseciky s jednotkovou kruznici.
Prvni bod se nachazi v prvnim kvadrantu a odpovida reseni $\frac{\pi}{4}$ . Pokud uvazis, ze cela kruznice odpovida uhlu $2\pi$ a vzhledem k symetrii obrazku je druhym resenim uhel $2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$ .
Samozrejme jsou obe reseni na intervalu <0, 2*pi> videt i z grafu fce, ale tam je obcas potiz urcit, jakemu uhlu dane reseni odpovida. V jednotkove kruznici je to diky symetrii snadne.

1. Vzdy urcis reseni v prvnim kvadrantu (napr. podle tabulkovych hodnot funkci sinus a kosinus).
2. Reseni ve druhem kvadrantu urcis tak, ze uhel nalezeny v bode 1 odectes od pi.
3. Reseni ve tretim kvadrantu urcis tak, ze uhel nalezeny v bode 1 prictes k pi.
4. Reseni ve ctvrtem kvadrantu urcis tak, ze uhel nalezeny v bode 1 odectes od 2*pi (viz tvuj priklad).
(u fce sinus je to obdobne, akorat danou ciselnou hodnotu vynasis na svislou osu)