Matematické Fórum

medic911 · 19. 01. 2011 19:49

z char. polynomu (x^2+6x+9) vysel dvojnasobny koren x12=-3. pro pravou stranu (t+2)e^(-3t) by byl odhad (At+B)t^2*e^(-3t) to souhlasi s vysledkama. Pro jinou pravou stranu te^(-3t)sint je ve vysledkach ((At+B)sint+(Ct+D)cost)e^(-3t) nemelo by byt ale jeste krat t^2
kdyz e^(-3t) obsahuje dvojnasobny koren char. polynomu? ((At+B)sint+(Ct+D)cost)e^(-3t)t^2?

jelena · 20. 01. 2011 11:03

Zdravím,

možna by to chtělo napsat přímo originál zadání, výsledek ze sbírky (nebo odkud) a co nesedí ve výsledku.

Přečetla jsem příspěvek opakovaně, ale nějak jsem si nepředstavila celý problém. Děkuji.

medic911 · 20. 01. 2011 13:14

↑ jelena:
Dobre, zkusim to napsat jeste jednou. Zadani určete tvar partikulárního řešení diferenciální rovnice x''+6x'+9x=b(t)
a) b(t)=(t+2)e^(-3t)
b)b(t)=te^(-3t)sint
z levé strany rovnice dostanu polynom a^2+6a+9=(x+3)^2 takze ma dvojnasobnz koren -3.
a tedka odhaduji tvar prave strany rovnice pro a) t^2(At+B)e^(-3t) -> t^2 je tam pro to, ze vysel dvojnasobny koren -3
pro b) podle me by mel byt tvar ((At+B)sint+(Ct+D)cost)e^(-3t)t^2 opet je tam t^2 protoze vysel dvojnasobny koren -3
ale ve vysledkach je ((At+B)sint+(Ct+D)cost)e^(-3t)
Koukal jsem se i na dalsi podobne priklady a nikdy tam to "t" nebylo. Mohli by jste mi to vysvetlit?

Stýv · 20. 01. 2011 14:07

dovolil jsem si opravit hrubku (věřim, že to byl jenom přepis) v nadpisu

jelena · 20. 01. 2011 18:08 — Editoval jelena (20. 01. 2011 23:38)

↑ medic911: děkuji, omlouvám se, že až teď, dřív to nešlo.

musíš porovnávat zadanou pravou stranu

$(t+2)e^{-3t}=e^{at}[P(t)\cos (bt)+Q(t)\sin (bt)]$ , odsud mame a=-3, b=0, P(t)=t-2

$a+b\rm{i}=-3+0\rm{i}=-3$ , $-3$ je dvojnasobny koren charakteristicke rovnice.

b] $te^{-3t}\sin t=e^{at}[P(t)\cos (bt)+Q(t)\sin (bt)]$ odsud je a=-3, b=1, P(t)=0, Q(t)=t.

potom $-3+1\rm{i}$ není kořen charakteristické rovnice.

Souhlasí to?

Kterou, kolego Stýve?