Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
[IMG]http://www.sdilej.eu/pics/19ec6d0dc2ce745c0e54d38bdef72903.bmp" alt="<a href="http://www.sdilej.eu/#19ec6d0dc2ce745c0e54d38bdef72903.bmp">[IMG]http://www.sdilej.eu/pics/19ec6d0dc2ce745c0e54d38bdef72903.bmp" />[/img]vubec si s timto prikladem nevim rady nevite nekdo prosim jak to dokazat?
Offline
Nemyslím, že má být posloupnost přirozených čísel, neboť součet má být libovolné (tedy i záporné) racionální číslo.
Vlákno dostalo do nadpisu "matematickou indukci". Má se opravdu dokazovat matematickou indukcí, nebo jsou doboleny i jiné přístupy?
Offline
↑ petrkovar:
To jsem přehlédl. Nicméně dá se myslím dokázat, že libovolné kladné racionální číslo lze zapsat jako konečnou sumu převrácených hodnot různých přirozených čísel. Pak by to rozšíření na záporná racionální čísla bylo triviální. Stačilo by pracovat s konečnou sumou převrácených hodnot záporných celých čísel.
Kdyby se totiž daná úloha dokazovala pro kladná racionální čísla (za použití sumy převr. hodnot přirozených čísel), tak v tom důkazu "mlhavě" vidím použití tzv. "metody nekonečného sestupu".
Detaily bych musel promyslet.
Offline
Předpokládejme nejprve, že .
Využil bych, že harmonická řada diverguje: . Označme první takový index, že .
A nyní se podíveme na tři možnosti, zda rozdíl (pozor na ) je více, stejně nebo méně než .
Potom separátně vyřešíme a .
Offline
↑ kety:
Ukažme, že každé kladné racionální číslo lze zapsat jako konečnou sumu převrácených hodnot různých přirozených čísel.
Nechť tedy . Pak zkonstruujme rostoucí posloupnost přirozených čísel takových, že
Začněme myšlenkou, kterou tady představil ↑ petrkovar:.
1. Označme takový index, že a zároveň .
a) Jestliže v neostré nerovnosti nastane rovnost, pak a hledaná posloupnost je ve tvaru . Úloha je vyřešena.
b) Nechť tomu tak není, tzn. .
2. Definujme racionální číslo takto:
Pak z definice a z obou výše uvedených nerovností platí, že
Protože , pak můžeme najít takové přirozené číslo , že .
a) Jestliže nastane v neostré nerovnosti rovnosti, tzn. , pak
a hledaná posloupnost je ve tvaru . Úloha je vyřešena.
b) Nechť tomu tak není, tzn. .
3. Definujme racionální číslo tak, že resp. je čitatel resp. jmenovatel zlomku v nezkráceném tvaru, tj.
Z analogických důvodů jako v předchozím bodu můžeme najít takové přirozené číslo , že .
a) Jestliže nastane v neostré nerovnosti rovnosti, tzn. , pak
a hledaná posloupnost je ve tvaru . Úloha je vyřešena.
b) Nechť tomu tak není, tzn. .
4. Definujme racionální číslo tak, že resp. je čitatel resp. jmenovatel zlomku v nezkráceném tvaru, tj.
Pak můžeme najít takové přirozené číslo , že .
a) Jestliže nastane v neostré nerovnosti rovnosti, tzn. , pak
a hledaná posloupnost je ve tvaru . Úloha je vyřešena.
b) Nechť tomu tak není, tzn. .
5. Pak můžeme pokračovat dál a konstruovat racionální čísla atd. resp. posloupnosti atd.
Zbytek nechám na Tobě:
Nyní stačí ukázat, že celý postup skončí po konečně mnoha krocích. Ukaž, že posloupnost čitatelů je klesající posloupnost přirozených čísel. To nutně implikuje, že pro dostatečně velký index musí být členy této posloupnosti nulové, což ukončuje výše popsanou proceduru a dokazuje to, že ke každému kladnému racionálnímu číslu exituje konečná posloupnost přirozených čísel, taková že
Offline
Je zajímavé, že pomocí konečné sumy převrácených hodnot přirozených čísel lze kladná racionální čísla
i za předpokladu, že je např. posloupnost kladných lichých čísel. Pak číslo 1 lze vyjádřit jako součet
OPRAVA: ne všechna racionální čísla lze takto vyjádřit.
Offline