Matematické Fórum

vysoka · 22. 01. 2011 20:13

najdite rovnicu dotycnice ku krivke
y**2=2x+1
prechadzajucu bodom (-2,0)

diky, mam to zderivovat a dosadit ?

Dana1 · 22. 01. 2011 20:16 — Editoval Dana1 (22. 01. 2011 20:52)

↑ vysoka:

Pozri toto, príklad 1.

Je to parabola. Niekde ku koncu tohto by mohla byť pomoc.

vysoka · 22. 01. 2011 20:26

↑ Dana1:
vsak ale tam je y**2 a to tam nie je :)

jelena · 22. 01. 2011 20:51

↑ vysoka:

Zdravím,

máš implicitně zadanou funkci, v tom smyslu prosím pokračuj. A už by mohl nastat nějaký pokrok v technice matematického zápisu (když jž je to Tvůj 100. příspěvek - gratulace :-)

vysoka · 22. 01. 2011 20:52

po zderivovani a predelini 2 vyslo cosi ako x-y= 0 , neviem ci je to spravne ? dik

Dana1 · 22. 01. 2011 21:00 — Editoval Dana1 (22. 01. 2011 21:07)

↑ vysoka:

Tu sú riešené podobné príklady, napr. číslo6.

Tu je rovnica dotyčnice k parabole, ak poznáš bod dotyku.

jelena · 22. 01. 2011 21:01

↑ vysoka: myslím, že ne - když to dopadlo takto.

Buď pořádně derivuj a pořádně dosazuj nebo řeš jako rovnici tečny k parabole (z analytické geometrii), jak doporučuje i kolegyně ↑ Dana1:, děkuji :-)

Dana1 · 22. 01. 2011 21:33

↑ vysoka:

y^2=2x+1 , dotyčnica y = kx + q obsahuje bod [-2;0]

Ak bod [-2;0] leží na priamke y = kx + q, musí platiť q = 2k, rovnica dotyčnice teda má tvar y = kx + 2k.

Pretože prienik dotyčnice a paraboly je jeden bod, po dosadení za y do rovnice paraboly musí mať vzniknutá kvadratická rovnica diskriminant rovný 0 (aby vyšiel jediný koreň).

Pre koeficient k dotyčnice mi po vyriešení vyšlo k1 = (odmocnina z 3)/3 (prvá dotyčnica) a k2 = - (odmocnina z 3)/3; Vieme, že q = 2k.

Ešte dosadiť do rovnice y = kx + q, vyjdú dve rovnice priamok - dotyčníc.

vysoka · 23. 01. 2011 07:39 — Editoval vysoka (23. 01. 2011 07:42)

dakujem, pardon za minus hlas napravim to ale az za 300 min sa to da ...

vysoka · 23. 01. 2011 10:34

zacal som to riesit ... trosku mam nejasnost - za y sa dosadi kx+2k ? a tie "k" co vysli tak to su tie kx alebo 2k ?
Dakujem

Dana1 · 23. 01. 2011 11:01 — Editoval Dana1 (23. 01. 2011 11:01)

↑ vysoka:

Áno, za y sa dosadí (kx + 2k). Dosadením hľadáme priesečník [x,y] dotyčnice a paraboly. Vyjde kvadratická rovnica pre x s parametrom k.

Pretože má existovať jediný priesečník paraboly a dotyčnice, vzniknutá kvadratická rovnica musí mať jediné riešenie. Takže hľadáme takú

hodnotu parametra k, ktorá spôsobí jediné riešenie tej kvadratickej rovnice. Túto hodnotu parametra zistíš z podmienky, že ak má byť 1 koreň,

diskriminant musí byť rovný 0.

Vyzerá to divoko, ale vyjde to pekne.

vysoka · 23. 01. 2011 12:21

ok,

neviem ci tam mam chybu, ale:
dal som za Y ten vyraz kx+2k...

cize to je kx**2+4kx+4k**2
diskriminant je podla vzorca b**2-4ac=0

takze zavyrazy a, b, c som dosadil tie k - cka s konstantami ( cislami)
a tak vyslo 4k**2-16k**3=0

pred zatvorku sa da vynat 4k**2 a tak vyslo jedno k =0 a dalsie k = 1/4 ...

dakujem za pripadnu opravu ...:)

Phate · 23. 01. 2011 12:33

kam se ti ztratilo -2x-1??? Jinak roznasobeni toho kvadratu mas spatne, prostredni clen ma byt $4k^2x$

Dana1 · 23. 01. 2011 12:39

↑ vysoka:

(k^2)(x^2) + 4(k^2)x + 4(k^2) -2x -1 = 0

Diskriminant (4k^2 - 2)^2 - 4k^2(4k^2 -1), má byť rovný 0

vysoka · 23. 01. 2011 13:31

ano bola tam chyba , vdaka, a ked dosadzam do diskriminantu ten "dlhy" clen , tak za cleny diskrimnantu beriem len cleny co su pri "x" ....
teda sa bralo za ax**2 + bx + c
a= k**2 , b = 4k**2 , alebo konstanta -2 ? vsak tam su dva cleny s "x" a za c = 4 alebo -1 ?
vdaka

Dana1 · 23. 01. 2011 14:55 — Editoval Dana1 (23. 01. 2011 15:15)

↑ vysoka:

Ten diskriminant som vypísala, x musíš z tých dvoch výrazov VYŇAŤ, potom b je tá zátvorka pred x, teda +(4k^2 - 2).

Výrazy s x sú: 4(k^2)x a -2x ... vyjmeš x a dostaneš zátvorku ako v predchádzajúcom riadku. To je člen pri x v kvadratickej rovnici.

vysoka · 25. 01. 2011 10:40

ok, bol pochopitelnyl ten diskriminant a, b, c vľak to nebolo az take tazke ... :)
teraz sa to roznasobi a tak vyslo -4k**2+4=0 , a vsak tak mi vyslo k**2 = 1 ... nebolo to treba vycislovat a radsej dosadit do tej y= kx++q ?
vdaka

Dana1 · 25. 01. 2011 11:16 — Editoval Dana1 (25. 01. 2011 11:22)

↑ vysoka:

y^2 = 2x + 1, dotyčnica y = kx + q ........ lebo (-2;0) leží na dotyčnici, q = 2k a dotyčnica má rovnicu y = kx + 2k

(kx + 2k)^2 = 2x + 1

(k^2) *( x^2) + 4 k^2 x + 4k^2 -2x -1 = 0, neznáma je x

(k^2) *( x^2) + 4 k^2 x -2x + 4k^2-1 = 0

(k^2) *( x^2)+ (4 k^2-2)x + (4k^2-1) = 0, a = (k^2) b = (4 k^2-2) c = (4k^2-1)

diskriminant má byť 0, takže

(4 k^2-2)^2 - 4 (k^2) (4k^2-1) = 0

16k^4 - 16k^2 +4 -16k^4 + 4 k^2 = 0

4 = 12 k^2

1/3 = k^2

k = +-(odmocnina z 3)/3

Cheop · 25. 01. 2011 11:21 — Editoval Cheop (25. 01. 2011 11:31)

↑ vysoka:
Rovnice tečny bude $y=kx+q$ - prochází bodem (-2,0) - dosadíme do předpisu souřadnice bodu tj:
$0=-2k+q\nlq=2k$
Rovnice tečny bude: $y=kx+2k$ - toto dosadíme do rovnice paraboly a určíme k tak, aby přímka měla s parabolou 1 společný bod.
$y^2=2x+1\nl(kx+2k)^2=2x+1\nlk^2x^2+4k^2x-2x+4k^2-1=0\nlk^2x^2+x(4k^2-2)+4k^2-1=0$ toto je kvadr. rovnice, aby to byla tečna pak diskriminant této rovnice =0 tj:
$(4k^2-2)^2-4k^2(4k^2-1)=0\nl16k^4-16k^2+4-16k^4+4k^2=0\nl12k^2=4\nlk^2=\frac 13\nlk=\pm\frac{\sqrt3}{3}$ - dosadíme do předpisu tečny:
pro $k=\frac{\sqrt3}{3}$
$y=kx+2k\nly=\frac{\sqrt3}{3}\,x+\frac{2\sqrt 3}{3}$
Pro $k=-\frac{\sqrt3}{3}$
$y=kx+2k\nly=-\frac{\sqrt3}{3}\,x-\frac{2\sqrt 3}{3}$
Řešení:
$t_1:\,\sqrt3\,x-3y+2\sqrt 3=0\nlt_2:\,\sqrt 3\,x+3y+2\sqrt 3=0$
Obrázek:

Dana1 · 25. 01. 2011 11:22

↑ vysoka:

Takže to máš potvrdené aj od Cheopa

vysoka · 25. 01. 2011 12:20

dakujem a dakujem **2 :) zase chyba pri roznasobovani , ja uz neviem co vypocet to chyba ...

jelena · 25. 01. 2011 12:27

Zdravím vás,

ještě kolegovi doplním postup přes derivaci implicitní funkce:

$y^2=2x+1$ derivace: $2yy^{\prime}=2$ , odsud $y^{\prime}=\frac{1}{y}$

rovnice tecny $y-y_0=\frac{1}{y_0}(x-x_0)$ (1)

Souřadnice body dotyku nemáme, pouze máme jiný bod, který je na přímce, ale není na parabole, do rovnice primky dosazujeme souradnice takto:

$0-y_0=\frac{1}{y_0}(-2-x_0)$ ,

odsud $y_0^2=2+x_0$ , dosazujeme do rovnice paraboly a najdeme souradnice bodu dotyku.

$2+x_0=2x_0+1$

Po dopočtu hodnot y_0 dosadíme do (1)

Jediný a právý důvod tohoto příspěvku - připomenout kolegovi vysoka, aby označil ještě některé svá témata za vyřešená. Děkuji.

vysoka · 25. 01. 2011 18:55

:)↑ jelena::)

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2011 20:13

rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#2 22. 01. 2011 20:16 — Editoval Dana1 (22. 01. 2011 20:52)

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#3 22. 01. 2011 20:26

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#4 22. 01. 2011 20:51

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#5 22. 01. 2011 20:52

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#6 22. 01. 2011 21:00 — Editoval Dana1 (22. 01. 2011 21:07)

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#7 22. 01. 2011 21:01

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#8 22. 01. 2011 21:33

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#9 23. 01. 2011 07:39 — Editoval vysoka (23. 01. 2011 07:42)

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#10 23. 01. 2011 10:34

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#11 23. 01. 2011 11:01 — Editoval Dana1 (23. 01. 2011 11:01)

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#12 23. 01. 2011 12:21

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#13 23. 01. 2011 12:33

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#14 23. 01. 2011 12:39

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#15 23. 01. 2011 13:31

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#16 23. 01. 2011 14:55 — Editoval Dana1 (23. 01. 2011 15:15)

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#17 25. 01. 2011 10:40

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#18 25. 01. 2011 11:16 — Editoval Dana1 (25. 01. 2011 11:22)

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#19 25. 01. 2011 11:21 — Editoval Cheop (25. 01. 2011 11:31)

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#20 25. 01. 2011 11:22

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#21 25. 01. 2011 12:20

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#22 25. 01. 2011 12:27

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

#23 25. 01. 2011 18:55

Re: rovnica dotycnice ( tecny) ku krivke

Zápatí