Matematické Fórum

akishavi · 07. 02. 2011 19:20

Ahoj prosim dokazal by to nekdo spocitat a hodit to sem?

moc by mi tím pomohl

Pavel Brožek · 07. 02. 2011 19:25

↑ akishavi:

Ahoj, ano, dokázal bych to spočítat a dokázal bych to sem i hodit. Raději ale poradím.

Využij linearity integrálu. V prvním členu substituuj logaritmus, v druhém použij per partes.

Integrand má smysl, pokud je definovaný.

Edit:

↑ perdy: Jsem rád, že se shodneme :-)

perdy · 07. 02. 2011 19:26 — Editoval perdy (07. 02. 2011 19:27)

Linearita, v prvom integrále substitúcia $t=\ln x$ , v druhom integrále per partes.

Edit: bol som pomalý.

akishavi · 07. 02. 2011 19:34

děkuji za rady :)
ještě víc bych děkoval, kdybyste byl tak hodny a ukázal mi řešení, protože já totalne nevím která bije - vím že se není čím chlubit ale je to tak :)

claudia · 07. 02. 2011 19:39

Řešení dokáže vygenerovat i automat: integrate sqrt(ln x)/x + x*e^x. Otázka je, jestli opravdu potřebujete znát to řešení, nebo jestli spíše potřebujete zjistit, která bije :-)

Pavel Brožek · 07. 02. 2011 19:41

↑ akishavi:

Máte nějaké materiály k přednášce? V těch by teorie měla být. Navíc tohle je látka, která se bere i na mnoha středních školách, existují i středoškolské učebnice. Máš něco k tomuto tématu?

akishavi · 07. 02. 2011 19:45

Muj problem je ze sem analýzu splnil pred 3 roky a ted mi uznali cviceni ale prednsku ne a sesity se ztratili a z prednasky nedokazu vycist jak se to delalo a na prednasce bude jak tet teorie tak par prikladu tady toho typu.

Pavel Brožek · 07. 02. 2011 19:50

Zkus integrování nastudovat z

http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learn … rokem6.php

myslím, že jsem to kdysi četl a že je to dobrý materiál.

akishavi · 07. 02. 2011 20:00

Děkuji všem co sem přispěli

claudia

Já taky integrovat vůbec neumím, tak můžeme zkusit, jestli se to z toho materiálu dá pochopit :-)

Bylo doporučeno na $\int x\cdot e^x dx$ použít per partes.

K té je tam psáno $\int u'v dx = uv - \int uv' dx$ . Připadá mi tedy, že to funguje tak, že to mohu použít na součin funkcí, a jeden součinitel se mi "zintegruje" a druhý "zderivuje".

V tomhle konkrétním případu to vypadá, že mi vůbec nevadí, pokud se mi zintegruje e^x, protože to se nijak nezmění. Zato x se derivováním zjednoduší.

Takže si označím:
u' = e^x
v = x

Z toho pak:
u = e^x
v' = 1 (EDIT, děkuji :-)

Takže $\int x\cdot e^x dx = \int u'v dx = uv - \int uv' dx = x\cdot e^x - \int e^x dx = x\cdot e^x - e^x + C = \left(x-1\right) \cdot e^x +C$ .

Možná :-) Jestli to akishaviovi pomůže alespoň od někoho, kdo tomu nerozumí :-)

Pavel Brožek · 07. 02. 2011 20:12

↑ claudia:

Přesně tak, jen si doplň čárku u $v$ v rovnosti $v=1$ .

claudia · 07. 02. 2011 20:34

A u druhého integrálu bylo doporučeno použít substituci.

Dobrá, tedy $t = \log x$ . Skriptum radí vyjádřit si dx v závislosti na dt. (Tady mi přijde trochu nejasné, co přesně to ten diferenciál je.)

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \Rightarrow dx = x\cdot dt$ .

Bezmyšlenkovitě dosadíme.

$\int \frac{\sqrt{\log x}}{x}dx = \int \frac{\sqrt{t}}{x}x dt = \int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\left(\log x\right)^{\frac{3}{2}} + C$ .

Tak asi nemohu tvrdit, že nevím jak. Ale rozhodně nevím proč :-)

V každém případě též děkuji za exkurzi :-)

akishavi · 07. 02. 2011 21:30

↑ claudia:↑ claudia: nepatrí tam místo t=logx t=ln x ?

Pavel Brožek · 07. 02. 2011 21:31

↑ claudia:

Dobře, jen bych přirozený logaritmus ve shodě se zadáním značil raději ln.

Ono nemusíš řešit, co ten diferenciál je, protože to takhle prostě funguje. Podstatné je, co říká věta. A ta říká:

$\int f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(t)\,\mathrm{d}t$ ,

kde $t=g(x)$ .

Můžeme tedy psát nejprve

$\int \frac{\sqrt{\ln x}}{x}\,\mathrm{d}x=\int \sqrt{\ln x}\cdot\frac1x\,\mathrm{d}x=\int \sqrt{\ln x}\cdot(\ln x)'\,\mathrm{d}x$ .

Toto je však přesně tvar levé strany z věty, kde $f(x)=\sqrt x$ a $g(x)=\ln x$ . Podle věty tedy zavedeme $t=g(x)=\ln x$ a věta říká:

$\int \frac{\sqrt{\ln x}}{x}\,\mathrm{d}x=\int \sqrt{t}\,\mathrm{d}t$ .

To vypočteme a dosadíme zpět za t.

Věta se dá samozřejmě jednoduše dokázat. To, že funguje pracování s „diferenciály“ tak, že si je můžeme rozepisovat jak jsi to udělala, je jen zjednodušení pro rychlost a přehlednost zápisu. Že to vždy funguje by se jistě dalo nějak dokázat.