Matematické Fórum

Olin · 08. 02. 2011 11:05

Mno, od těch tečen bych se raději držel dál. Asi i fyzik by chtěl, aby derivace $x^3$ v nule byla nula, ale jak tím bodem vést tečnu?

Něco škaredého Zobrazit/skrýt!

claudia napsal(a):
Mimochodem, pokud graf není takto "rovný", tak mám dokonce pocit, že úplně každá přímka s ním má v dostatečně malém okolí nejvýše jeden společný bod :-)

Co chudák funkce
$f(x) = \begin{cases} \sin\left( \frac 1x \right) & \text{pro }x \neq 0 \nl 0 & \text{pro }x=0 \end{cases}$
a přímka $y=0$ na libovolném okolí nuly?

perdy · 08. 02. 2011 11:21

Čo sa mňa týka, som spokojný s klasickou deriváciou :-) Akurát som teraz zistil, že ju mám ešte radšej, ako predtým. Vám ostatným ďakujem za debatu, ale zo mňa už asi nič rozumné k tejto téme nevylezie.

claudia · 08. 02. 2011 13:57

Olin napsal(a):
]
A jakou bude mít v nule derivaci funkce
$f(x) = \begin{cases} x^4 & \text{pro }x \in \mathbb{Q} \nl x^2 & \text{pro }x \notin \mathbb{Q}\end{cases}$
?

Nejspíše $f'$0$=0$ ?

Z definice:
$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=0 \Leftrightarrow \forall \epsilon>0 \exists \delta \forall h\in$-\delta;\delta$ \|\frac{f(h)}{h}\| < \epsilon$

Nechť nám tedy někdo dá takové $\epsilon$ .

Zvolíme $\delta=\frac{\min$\epsilon,1$}{2}$ a ukžeme, že $\forall h\in$-\delta;\delta$ \|\frac{f(h)}{h}\| < \epsilon$ .

Vezměme tedy jedno takové $h$ . Buď platí $h\in \mathbb{Q}$ nebo $h \notin \mathbb{Q}$ .

Pokud $h\in \mathbb{Q}$ , pak $\|\frac{f(h)}{h}\| = \|h^3\| < \|\delta^3\| = \delta^3 < \delta < \epsilon$ .

Pokud $h \notin \mathbb{Q}$ , pak $\|\frac{f(h)}{h}\| = \|h\| < \|\delta\| = \delta < \epsilon$ .

Nebo asi přes squeeze theorem, ale budu si muset rozmyslet, jak jej aplikovat, když nerovnosti platí jen mezi -1 a 1.

claudia · 08. 02. 2011 13:59

Olin napsal(a):
Co chudák funkce
$f(x) = \begin{cases} \sin\left( \frac 1x \right) & \text{pro }x \neq 0 \nl 0 & \text{pro }x=0 \end{cases}$
a přímka $y=0$ na libovolném okolí nuly?

Pravda, tou nás též profesor Zajíček strašil. Ale teprve díky tobě jsem objevila její skutečnou krásu :-) (Předtím jsem jen postřehla, že má nekonečně mnoho průsečíků s y=0 obecně.)

Matematické Fórum

#26 08. 02. 2011 11:05

Re: Derivace, integrál

claudia napsal(a):

#27 08. 02. 2011 11:21

Re: Derivace, integrál

#28 08. 02. 2011 13:57

Re: Derivace, integrál

Olin napsal(a):

#29 08. 02. 2011 13:59

Re: Derivace, integrál

Olin napsal(a):

Zápatí