Matematické Fórum

Hnykda · 12. 02. 2011 16:25 — Editoval Hnykda (12. 02. 2011 16:26)

Ahoj, nějak si furt nemůžu spočítat derivaci
$\cos x^2$

Můžete poradit? :)

Tychi · 12. 02. 2011 16:30

je to složená funkce, vnitřní funkce je $x^2$ , vnější je cos. Pomohlo?

Hnykda · 12. 02. 2011 16:36

Bohužel, právě proto to potřebuji, k počítání složených fcí, ale nějak se k tomu nemůžu dostat.
Stejně tak nevím např.
$\sin^3 x^2$ atp. Nemohl bych poprosit o postup? Stačí mi jeden, pak už se chytnu :)

Tychi · 12. 02. 2011 16:38

derivace složené funkce
$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

tedy ve druhém příkladě
$sin^3(x^2)=3sin^2(x^2)\cdot 2x$

byk7 · 12. 02. 2011 16:38

↑ Hnykda:
$& f(x):=\cos\left(x^2\right) \\& t:=x^2 \\& \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}\cos t}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=-\sin t\cdot 2x=-2x\sin\left(x^2\right)$

↑ Hnykda:
$& g(x):=\sin^3\left(x^2\right)=\sin^3t \\& u:=\sin t \\& \frac{{\rm d}g}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}u^3}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=3u^2\cdot\cos t\cdot 2x=3\sin^2\left(x^2\right)\cdot\cos\left(x^2\right)\cdot2x=6x\sin^2\left(x^2\right)\cos\left(x^2\right)$

Olin · 12. 02. 2011 16:49

↑ Tychi:

Pozor, "vnější" funkce je v tomto případě třetí mocnina, "vnitřní" $\sin(x^2)$ . Výsledek tedy je $3 \sin^2(x^2) \cdot (\sin(x^2))' = \dots$ .

Hnykda · 12. 02. 2011 16:50

Děkuju mnohokrát

Tychi · 12. 02. 2011 16:55

↑ Olin:Potvora jedna dvakrát složená(o:

Hnykda · 12. 02. 2011 17:16 — Editoval Hnykda (12. 02. 2011 17:17)

Tak se přeci jen ještě neobejdu bez vaší pomoci :D .
$y=e^{x^2-2x+1}$

Rozložil jsem si to na součin, ale nevím jak mám rozlišit vnitřní/vnější funkci. Vždycky si říkám, že vnitřní je to, co bych dělal první když bych to přímo řešil, ale tady nevím :/ .

Oxyd · 12. 02. 2011 17:41

↑ Hnykda:

Rozložit to na součin sice je možné, ale řekl bych, že tady bude šikovnější derivovat přímo tenhle tvar.

Kdybys chtěl vyčíslit hodnotu y(x) pro nějaké dané x, tak bys nejdřív začal určením hodnoty exponentu, ne? Tedy exponent -- x^2 - 2x + 1 -- je vnitřní funkce. Vnější je pak e^t.

Takže opět, , , .

Jinak kdyžs to tedy rozložil na součin, tak z toho máš .. součin. A ten se derivuje podle pravidla o derivaci součinu.

Takže pokud jsi udělal něco jako , tak derivace bude vypadat . (e je jenom konstanta.)

byk7 · 12. 02. 2011 23:02

↑ Oxyd:
$& \text{on asi myslel si to zapsat jako} \\& y=e^{(x-1)^2} \\& \text{což potom} \\& y'=\left(e^{(x-1)^2}\right)'=2(x-1)e^{(x-1)^2}$

Hnykda · 15. 02. 2011 20:18 — Editoval Hnykda (15. 02. 2011 20:22)

Ahaa, tak jsem na to konečně přišel. Paní profesorka nám zatajila ten vzorec pro "e" a já se to furt snažil dělat přes složenou f'(g(x)) . g' .
Ještě bych měl nějaké na kt. jsem nepřišel, jestli můžu poprosit:
$5^{x^2-1}+3$

$ln^3 [{x^2-1}]$

$1+{[1]/[{x^2-2x}]}$ .... pardon, zlomky jsem se ještě v texu neučil

Oxyd · 15. 02. 2011 20:22 — Editoval Oxyd (15. 02. 2011 20:24)

↑ Hnykda:

Aha. Pokud ti chybí vzorečky, pomůže ti navíc vzoreček ? Kde a > 0 je konstanta, x je proměnná podle které se derivuje a ln je přirozený logaritmus.

Počítat se to bude podle tohohle vzorečku a opět derivace složené funkce.

Edit: Logaritmus na třetí? To nezní jako správné řešení... Do logaritmu patří základ té exponenciály, exponent se pak zderivuje za násobítko (podle vzorce o derivaci složené fce).

Hnykda · 15. 02. 2011 20:29 — Editoval Hnykda (15. 02. 2011 20:41)

Takhle to tam ale opravdu mám, v učebnici. Měl by to být stejné jako {ln[(x^2)-1]}^3

A ještě jsem teda našel jeden:
$2x*\sqrt{1-x^2}$

Edit1,2:
U toho vzorce s tou konstantou se dostanu do:
$2x*5*5^{x^2-1}*{x^2-1}*ln 5$
a není to správně. Špatně to tam používám.

Oxyd · 15. 02. 2011 20:39

To se mi moc nezdá...

$\left( 5^{x^2 - 1} + 3 \right)' = \left( 5^{x^2 - 1} \right)' = 5^{x^2 - 1} \ln 5 \cdot \left( x^2 - 1 \right)' = 5^{x^2 - 1} \ln 5 \cdot 2x$ .

Wolfram Alpha se mnou ve výsledku souhlasí (jenom ten ještě hodil tu dvojku na konci do logaritmu).

Nepřipadá mi, že by tenhle výsledek šel upravit na ten tvůj.

Hnykda · 15. 02. 2011 20:43

Jojo, to Vaše je určitě správně.
Není mi zkrátka jasný ten třetí krok. Já to dělám tak, že: x2 - 1 je vnější a 5 vnitřní (a upravuje se dle toho vzorce s a na x) a pak klasicky dle složené fce.

Oxyd · 15. 02. 2011 20:50 — Editoval Oxyd (15. 02. 2011 20:51)

↑ Hnykda:

Třetím krokem myslíš $\left( 5^{x^2 - 1} \right)' = 5^{x^2 - 1} \ln 5 \cdot \left( x^2 - 1 \right)'$ ? To je přesně použití vzorce na derivaci složené funkce.

Když to udělám pomaleji. Vnitřní funkce je $t(x) = x^2 - 1$ , vnější je $y(x) = 5^x$ . Derivuju to jako složenou funkci $\left( y(t(x)) \right)' = \left( 5^{t(x)} \right)' = \underbrace{5^{t(x)} \ln 5}_{\text{vnější}} \cdot \overbrace{t'(x)}^{\text{vnitřní}}$ .

Hnykda · 15. 02. 2011 21:51 — Editoval Hnykda (15. 02. 2011 21:56)

Ahaa, vím v čem je chyba, neurčil jsem si jako vnější fci "5" . Děkuji

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2011 16:25 — Editoval Hnykda (12. 02. 2011 16:26)

Derivace cos x^2

#2 12. 02. 2011 16:30

Re: Derivace cos x^2

#3 12. 02. 2011 16:36

Re: Derivace cos x^2

#4 12. 02. 2011 16:38

Re: Derivace cos x^2

#5 12. 02. 2011 16:38

Re: Derivace cos x^2

#6 12. 02. 2011 16:49

Re: Derivace cos x^2

#7 12. 02. 2011 16:50

Re: Derivace cos x^2

#8 12. 02. 2011 16:55

Re: Derivace cos x^2

#9 12. 02. 2011 17:16 — Editoval Hnykda (12. 02. 2011 17:17)

Re: Derivace cos x^2

#10 12. 02. 2011 17:41

Re: Derivace cos x^2

#11 12. 02. 2011 23:02

Re: Derivace cos x^2

#12 15. 02. 2011 20:18 — Editoval Hnykda (15. 02. 2011 20:22)

Re: Derivace cos x^2

#13 15. 02. 2011 20:22 — Editoval Oxyd (15. 02. 2011 20:24)

Re: Derivace cos x^2

#14 15. 02. 2011 20:29 — Editoval Hnykda (15. 02. 2011 20:41)

Re: Derivace cos x^2

#15 15. 02. 2011 20:39

Re: Derivace cos x^2

#16 15. 02. 2011 20:43

Re: Derivace cos x^2

#17 15. 02. 2011 20:50 — Editoval Oxyd (15. 02. 2011 20:51)

Re: Derivace cos x^2

#18 15. 02. 2011 21:51 — Editoval Hnykda (15. 02. 2011 21:56)

Re: Derivace cos x^2

Zápatí