Matematické Fórum

tedd · 23. 02. 2011 23:57

Chtěl bych se zeptat na postup řešení derivace příkladu:
y=(x^2+1)^arctg(x)

Co jsou zkoušel sám, tak mi vycházelo:
2x*arctg(x)(x^2+1)^arctg(x)-1, což ale není dobře. Zkoušel jsem to zkontrolovat přes nějaké sw, které to však počítají pomocí exponenciálních funkcí a já se k podobnému výsledku nemůžu bez jejich použití nijak dobabrat.

Děkuji

Asinkan · 24. 02. 2011 00:35

Tak proč ty funkce nepoužiješ? Zkus to přepsat pomocí vzorce: $f(x)=e^{ln(f(x))}$ a pak derivuj.

Oxyd · 24. 02. 2011 00:37

Bez exponenciální funkce to skutečně nepůjde.

Když v exponentu je nějaká funkce závisející na x (nebo obecněji, na té proměnné, podle které se derivuje), tak se na to nedá použít vzoreček $\left( x^n \right)' = nx^{n - 1}$ -- ten vzoreček totiž předpokládá, že n nezávisí na x.

Bude třeba přestat se vyhýbat exponenciální funkci. Ona se navíc derivuje strašně hezky: $\left( \exp x \right)' = \exp x$ . Obecná mocnina se pak definuje jako $a^x := \exp(x \ln a)$ .

Takže když podle definice obecné mocniny přepíšu tu tvoji funkci, tak mám $y = \left( x^2 + 1 \right)^{\arctan x} = \exp \left( \arctan x \cdot \ln \left( x^2 + 1 \right)\right)$ . Dál se to derivuje podle vzorečku o derivaci složené funkce a toho vzorečku výše pro derivci exponenciály. (A taky vzorečku pro derivaci logaritmu.)