Matematické Fórum

Alivendes · 02. 03. 2011 18:24

Zdravím, chtěl bych se zeptat, jak se dá poznat spojistost funkcí tipu $\frac{sinx}{x}$ v bodě nule musím pro výpočet limity použít lhospitalovo pravidlo, jak ale poznám že je funkce v tom bodě spojitá a že to skutečně dává smysl ...Díky

Hudler · 02. 03. 2011 18:38 — Editoval Hudler (02. 03. 2011 19:28)

Tohle je základní limita. Je rovna jedné. Jelikož je to typ nula lomeno nulou, tak lze použít i L´Hopitalovo pravidlo.

Funkce není v bodě x=0 spojitá (?!)

Alivendes · 02. 03. 2011 18:45

Právě že je ...si udělej graf na počítači ..

Pavel · 02. 03. 2011 18:46 — Editoval Pavel (02. 03. 2011 18:56)

↑ Hudler:

Není to tak úplně pravda, že funkce v bodě x=0 není spojitá. Záleží hodně na tom, jak je definována funkční hodnota v bodě 0. Pokud ji dodefinuji jako 1, bude funkce v 0 spojitá.

↑ Alivendes:

Graf na počítači není zrovna nejlepší prostředek, jak určovat spojitost. Stačí se nechat vykreslit funkci

$(x+10^{-1000})\sin\left(\frac 1x\right)$

a z obrazovky nepoznáš, že funkce spojitá v 0 není a ani ji zde nelze spojitě dodefinovat.

Hudler · 02. 03. 2011 18:55

↑ Pavel:
Nejsem si teď jist, jak se daná fce definuje.

x=0 je bod nespojitosti, pokud se však jako funkční hodnota v bodě x=0 bere limita, pak fce musí být spojitá

Alivendes · 02. 03. 2011 18:55

Dobře, jak se tedy dá počítat s takovými funkcemi ? ..jak poznám kdy je funkce, ze které vznikne neurčitý výraz , spojitá

Pavel · 02. 03. 2011 18:58

↑ Alivendes:

Spojitost poznáš tak, že limita v bodě je rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Pokud je funkce $f(x)=\frac{\sin x}x$ definovaná v bodě $x=0$ tak, že $f(0)=1$ , pak je v něm spojitá. Pokud zde definovaná vůbec není, pak tam spojitá samozřejmě také není.

Hudler · 02. 03. 2011 19:03

http://cs.wikipedia.org/wiki/Spojit%C3%A1_funkce
http://www.matweb.cz/spojitost-funkce

Často se omezíš na určení definičního oboru, případně náčrtku grafu.

Alivendes · 02. 03. 2011 19:18

tak už jen když si napíšu tohle :

$sinx=x$ to jasně platí pro 0
musí taky pro 0 platit $\frac{sinx}{x}=1$

Pavel · 03. 03. 2011 09:56

↑ Alivendes:

Tvoje úvaha je chybná. Jasně platí, že $\sin x=2x$ pro x=0. Ale z toho nevyplývá, že pro x=0 je $\frac{\sin x}{2x}=1$ . Protože

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}=\frac 12\,.$

Alivendes · 03. 03. 2011 13:05

No jsou teda tyhle funkce spojité nebo ne ?

Pavel · 03. 03. 2011 13:28

↑ Alivendes:

Funkce $f(x)=\sin x$ je spojitá v 0. Funkce $g(x)=x$ je také spojitá v 0. Funkce $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sin x}{x}$ má definiční obor $D(h)=\mathbb R\setminus\{0\}$ , takže ta spojitá v 0 není. Avšak dodefinujeme-li její funkční hodnotu v 0 tak, že položíme $h(0):=1$ , pak tato funkce už spojitá v bodě 0 bude.

Alivendes · 03. 03. 2011 14:50

Takže se dá říct, že záleží na tom, jak si udělám definiční obor ?

Pavel · 03. 03. 2011 15:51

↑ Alivendes:

ano, je to tak. A záleží také na tom, jak funkci v bodě 0 dodefinuješ. Zadej na webu heslo "odstranitelná nespojitost".

zdenek1 · 03. 03. 2011 17:24

↑ Pavel:
Tady jde spíš o to, že funkce $f:y=\frac{\sin x}x$ není rovna funkci
$g:\begin{cases}x\neq0;\quad y=\frac{\sin x}x\\x=0;\quad y=1\end{cases}$
funkce $f$ spojitá není, funkce $g$ spojitá je, ale jsou to dvě různé funkce.

Pavel · 04. 03. 2011 11:12 — Editoval Pavel (04. 03. 2011 11:13)

↑ zdenek1:

To je pravda, nicméně původní otázka zněla

Zdravím, chtěl bych se zeptat, jak se dá poznat spojitost funkcí typu $\frac{sinx}{x}$ v bodě nule...

Pochopil jsem to tak, že Alivendes nechtěl vyšetřovat spojitost pouze funkce $\frac{sinx}{x}$ , ale také funkcí, o nichž jsem psal v předchozích příspěvcích. Otázkou je, co Alivendes myslel slovním spojením "funkcí typu $\frac{sinx}{x}$ "

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2011 18:24

Limity, spojistost fce

#2 02. 03. 2011 18:38 — Editoval Hudler (02. 03. 2011 19:28)

Re: Limity, spojistost fce

#3 02. 03. 2011 18:45

Re: Limity, spojistost fce

#4 02. 03. 2011 18:46 — Editoval Pavel (02. 03. 2011 18:56)

Re: Limity, spojistost fce

#5 02. 03. 2011 18:55

Re: Limity, spojistost fce

#6 02. 03. 2011 18:55

Re: Limity, spojistost fce

#7 02. 03. 2011 18:58

Re: Limity, spojistost fce

#8 02. 03. 2011 19:03

Re: Limity, spojistost fce

#9 02. 03. 2011 19:18

Re: Limity, spojistost fce

#10 03. 03. 2011 09:56

Re: Limity, spojistost fce

#11 03. 03. 2011 13:05

Re: Limity, spojistost fce

#12 03. 03. 2011 13:28

Re: Limity, spojistost fce

#13 03. 03. 2011 14:50

Re: Limity, spojistost fce

#14 03. 03. 2011 15:51

Re: Limity, spojistost fce

#15 03. 03. 2011 17:24

Re: Limity, spojistost fce

#16 04. 03. 2011 11:12 — Editoval Pavel (04. 03. 2011 11:13)

Re: Limity, spojistost fce

Zápatí