Matematické Fórum

Esperance · 05. 03. 2011 12:03

Najděte rozložení teploty T v závislosti na R v prostoru mezi dvěma soustřednými koulemi o poloměru R_1 a R_2, který je homogenně vyplněn látkou schopnou vést teplo, za podmínky, že teplota je stálá a rovna T_1 respektive T_2.
Děkuju za pomoc, jako jediný mi z kapitoly tento příklad stále odolává:-)

zdenek1 · 06. 03. 2011 07:41

↑ Esperance:
Myslím, že by mělo stačit vyřešit
$\frac{Q}{tS}=-\lambda\frac{\text{d}T}{\text{d}r}$ , když $S=4\pi r^2$

Esperance · 06. 03. 2011 13:43

na to mi nesedí myslím výsledek, který dle skript je:
$T=\frac{(T_2 - T_1)R_1*R_2)}{(R_1 -R_2)*R} + \frac{T_1*R_1 - T_2*R_2}{R_1 -R_2}$

zdenek1 · 06. 03. 2011 14:25

↑ Esperance:
$\frac Qt=A$ (abych se stím pořád nepsal)
$\frac{A}{4\pi r^2}=-\lambda\frac{\text{d}\,T}{\text{d}\,r}$
$\frac{A}{4\pi}\int_{r_1}^r\frac{\text{d}\,r}{r^2}=-\lambda\int_{T_1}^T\text{d}\,T$
$\frac{A}{4\pi}\left[\frac1{r_1}-\frac1r\right]=\lambda(T_1-T)$ (1)

Nyní speciálně pro $r=r_2\ \Rightarrow\ T=T_2$

$\frac{A}{4\pi}\left[\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right]=\lambda(T_1-T_2)$ (2)

Řekl bych, že dělením $\frac{(1)}{(2)}$ a trochou úprav dostaneš požadovaný výsledek (ale to už jsem nepočítal)