Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 03. 2011 00:44 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:19)

ladab
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

integrály s odmocninami a jeden cosinus

ahojte, je pozdě, ale celý večer řeším integrály, už mi zbyly jen tři nevyřešené, poradí někdo? Stačí ráno :-)
Takže první: $A=\int\frac{1}{x\sqrt{x+1}}dx$
Druhý: $B=\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}dx$ - založila jsem mu na doporučení nové téma
Třetí: $C=\int \frac{1}{\cos x}dx$

Ten třetí jsem teď zkusila přes substituci t=sin x a vyšlo mně $C=\int \frac{1}{1-t^2}dt$ a konečný výsledek $C=-\frac12\ln|\sin x -1 |+\frac12\ln|\sin x +1 |$ ale Wolfram mi vyhodil nějaký jiný (možná stejný, ale jinak upravený), mám to C dobře?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) ladab)

#2 07. 03. 2011 01:51

ladab
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ ladab: Tak jsem se dopracovala, doufám, i k tomu A, substituce $\sqrt{x+1}=t$  pak mi vyšlo $A=\int\frac{2}{t^2-1}dt$ a nakonec výsledek $A=\ln| \sqrt{x+1}-1|-\ln| \sqrt{x+1}+1|+const$

Bude to dobře? Ale to B stále netuším

Offline

 

#3 07. 03. 2011 08:28

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

Zdravím,

A) se mi zdá v pořádku.

B) mne teď nenapadá - zkus online stroje z úvodního tématu VŠ

C) asi nejrychlejší: užití součtových vzorců a přechod na poloviční úhel:

pro jmenovatel: $\cos x=\sin \(\frac{\pi}{2}+x\)=2\sin\(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\)\cos\(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\)$

pro čitatel: $1=\sin^2\(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\)+\cos^2\(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\)$

Potom rozdělit na 2 zlomky.

Příště, prosím, do jednoho tématu jednu úlohu. Děkuji.

Offline

 

#4 07. 03. 2011 10:21 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:26)

ladab
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ jelena: děkuji, zkusila jsem ten C přes poloviční úhly, ale zdá se mi to složitější než přes tu moji substituci-dopočítala jsem to - výsledek shodný s Wolframem... Ale může mi někdo potvrdit, že ten můj původní postup se substitucí je taky správny ? Myslím subst.  t=sin x

Offline

 

#5 07. 03. 2011 10:25 — Editoval Honzc (07. 03. 2011 10:28)

Honzc
Příspěvky: 4378
Reputace:   235 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ ladab:
C máš dobře (nezapomenout na integrační konstantu)
B:
udělej substituci x=t^2, dx=2tdt,
B- int(2t^2dt/(t^2+1)=...int(dt(2-2/(t^2+1))=2t-2arctg(t)=2sqrt(x)-2arctg(sqrt(x))+c

Online

 

#6 07. 03. 2011 10:33

ladab
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ Honzc: děkuji, zkusím to, tato substituce mě nenapadla,ještě dotaz, v čitateli po substituci výjde $\sqrt{t^2}$ mám to brát jako =t? Ta absolutní hodnota se tam nemusí psát???

Offline

 

#7 07. 03. 2011 10:38

Honzc
Příspěvky: 4378
Reputace:   235 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ ladab:
Nemusí.

Online

 

#8 07. 03. 2011 10:43 — Editoval Rumburak (07. 03. 2011 10:51)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ ladab:
Substituce i výsledek C je dobře  (přičtení integrační konstanty předpokládám).

S ohledem na obor hodnot funkce sinus je ve výsledu možno ještě odstranit absolutní hodnotu:

$C=-\frac12\ln|\sin x -1 |+\frac12\ln|\sin x +1 | = -\frac12\ln(1 - \sin x)+\frac12\ln(\sin x +1)$ .

EDIT: Zde ale není triviální otázka intervalu, na němž výsledek platí.

Offline

 

#9 07. 03. 2011 10:50 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:53)

ladab
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ Rumburak: ano, děkuji, tu konstrantu tam mám samozřejmě :-)

A to s tím oborem hodnot nechápu, proč to můžu odstranit? Obor hodnot funkce sin je od -1 do 1 takže ta absolutní hodnota by tam měla být, ne??? Jinak výjde třeba ln (-2) a co pak? Ty absolutní hodnoty obecně nechápu, chjo!

Offline

 

#10 07. 03. 2011 10:52 — Editoval Rumburak (07. 03. 2011 10:53)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ ladab:
Do svého předchozího příspěvku ↑ Rumburak: jsem ještě doplnil jednu důležitou drobnost.

Offline

 

#11 07. 03. 2011 10:54

ladab
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ Rumburak: tak to už nechápu vůbec, mrknu na to odpoledne, zatím díky moc

Offline

 

#12 07. 03. 2011 11:29 — Editoval Rumburak (07. 03. 2011 13:22)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ ladab: Když   -1 <= sin x <= 1,   potom    0  <= 1 + sin x <= 2  i   0  <= 1 - sin x <= 2  .

↑ ladab:   Úloha nalézt PF v úloze C má řešení maximálně na každém z otevřených intervalů

(1)                               $\((2k-1)\frac{\pi}{2}, (2k+1)\frac{\pi}{2}\)$ ,    $k$ probíhá mn. celých čísel ,

neboť v krajních bodech není integrovaná funkce definována, ostatně ani funkce

(2)                              $C(x) =-\frac12\ln(1 - \sin x)+\frac12\ln(\sin x +1)$  .

Každý z intervalů (1) "má" i svoji vlastní integrační konstantu nezávislou na integračních konstantách pro ostatní intervaly.

Formálně správný zápis výdledku by byl:

$\int \frac{\mathrm{d}x }{\cos x} =-\frac12\ln(1 - \sin x)+\frac12\ln(\sin x +1) + M_k$   na každém z intervalů (1).

Offline

 

#13 07. 03. 2011 12:36

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ ladab:

děkuji za zprávu (když jsem psala příspěvek, jsi ještě neměla substituci pro zadání C (tak?), proto jsem nemohla nic posoudit), můj návrh byl takový pokus o náznak kreativity. Příště zůstanu u standardů (a snad ani to ne).

Zdravím v tématu.

Offline

 

#14 07. 03. 2011 13:43 — Editoval Rumburak (07. 03. 2011 13:44)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ jelena:

Zdravím Tě, Jeleno, a doufám, že raději zůstaneš u své kreativity. :-)
Za tu v příspěvku ↑ jelena: bych Ti hnad dal "+", kdyby to technicky šlo.

Offline

 

#15 08. 03. 2011 15:09

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

↑ Rumburak:

To bych měla :-) Zebrologie je v hlubokém úpadku.

Děkuji velmi a zdravím.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson