Matematické Fórum

ladab · 07. 03. 2011 00:44 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:19)

ahojte, je pozdě, ale celý večer řeším integrály, už mi zbyly jen tři nevyřešené, poradí někdo? Stačí ráno :-)
Takže první: $A=\int\frac{1}{x\sqrt{x+1}}dx$
Druhý: $B=\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}dx$ - založila jsem mu na doporučení nové téma
Třetí: $C=\int \frac{1}{\cos x}dx$

Ten třetí jsem teď zkusila přes substituci t=sin x a vyšlo mně $C=\int \frac{1}{1-t^2}dt$ a konečný výsledek $C=-\frac12\ln|\sin x -1 |+\frac12\ln|\sin x +1 |$ ale Wolfram mi vyhodil nějaký jiný (možná stejný, ale jinak upravený), mám to C dobře?

ladab · 07. 03. 2011 01:51

↑ ladab: Tak jsem se dopracovala, doufám, i k tomu A, substituce $\sqrt{x+1}=t$ pak mi vyšlo $A=\int\frac{2}{t^2-1}dt$ a nakonec výsledek $A=\ln| \sqrt{x+1}-1|-\ln| \sqrt{x+1}+1|+const$

Bude to dobře? Ale to B stále netuším

jelena · 07. 03. 2011 08:28

Zdravím,

A) se mi zdá v pořádku.

B) mne teď nenapadá - zkus online stroje z úvodního tématu VŠ

C) asi nejrychlejší: užití součtových vzorců a přechod na poloviční úhel:

pro jmenovatel: $\cos x=\sin $\frac{\pi}{2}+x$=2\sin$\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}$\cos$\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}$$

pro čitatel: $1=\sin^2$\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}$+\cos^2$\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}$$

Potom rozdělit na 2 zlomky.

Příště, prosím, do jednoho tématu jednu úlohu. Děkuji.

ladab · 07. 03. 2011 10:21 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:26)

↑ jelena: děkuji, zkusila jsem ten C přes poloviční úhly, ale zdá se mi to složitější než přes tu moji substituci-dopočítala jsem to - výsledek shodný s Wolframem... Ale může mi někdo potvrdit, že ten můj původní postup se substitucí je taky správny ? Myslím subst. t=sin x

Honzc · 07. 03. 2011 10:25 — Editoval Honzc (07. 03. 2011 10:28)

↑ ladab:
C máš dobře (nezapomenout na integrační konstantu)
B:
udělej substituci x=t^2, dx=2tdt,
B- int(2t^2dt/(t^2+1)=...int(dt(2-2/(t^2+1))=2t-2arctg(t)=2sqrt(x)-2arctg(sqrt(x))+c

ladab · 07. 03. 2011 10:33

↑ Honzc: děkuji, zkusím to, tato substituce mě nenapadla,ještě dotaz, v čitateli po substituci výjde $\sqrt{t^2}$ mám to brát jako =t? Ta absolutní hodnota se tam nemusí psát???

Honzc · 07. 03. 2011 10:38

↑ ladab:
Nemusí.

Rumburak

↑ ladab:
Substituce i výsledek C je dobře (přičtení integrační konstanty předpokládám).

S ohledem na obor hodnot funkce sinus je ve výsledu možno ještě odstranit absolutní hodnotu:

$C=-\frac12\ln|\sin x -1 |+\frac12\ln|\sin x +1 | = -\frac12\ln(1 - \sin x)+\frac12\ln(\sin x +1)$ .

EDIT: Zde ale není triviální otázka intervalu, na němž výsledek platí.

ladab · 07. 03. 2011 10:50 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:53)

↑ Rumburak: ano, děkuji, tu konstrantu tam mám samozřejmě :-)

A to s tím oborem hodnot nechápu, proč to můžu odstranit? Obor hodnot funkce sin je od -1 do 1 takže ta absolutní hodnota by tam měla být, ne??? Jinak výjde třeba ln (-2) a co pak? Ty absolutní hodnoty obecně nechápu, chjo!

Rumburak

↑ ladab:
Do svého předchozího příspěvku ↑ Rumburak: jsem ještě doplnil jednu důležitou drobnost.

ladab · 07. 03. 2011 10:54

↑ Rumburak: tak to už nechápu vůbec, mrknu na to odpoledne, zatím díky moc

Rumburak

↑ ladab: Když -1 <= sin x <= 1, potom 0 <= 1 + sin x <= 2 i 0 <= 1 - sin x <= 2 .

↑ ladab: Úloha nalézt PF v úloze C má řešení maximálně na každém z otevřených intervalů

(1) $$(2k-1)\frac{\pi}{2}, (2k+1)\frac{\pi}{2}$$ , $k$ probíhá mn. celých čísel ,

neboť v krajních bodech není integrovaná funkce definována, ostatně ani funkce

(2) $C(x) =-\frac12\ln(1 - \sin x)+\frac12\ln(\sin x +1)$ .

Každý z intervalů (1) "má" i svoji vlastní integrační konstantu nezávislou na integračních konstantách pro ostatní intervaly.

Formálně správný zápis výdledku by byl:

$\int \frac{\mathrm{d}x }{\cos x} =-\frac12\ln(1 - \sin x)+\frac12\ln(\sin x +1) + M_k$ na každém z intervalů (1).

jelena · 07. 03. 2011 12:36

↑ ladab:

děkuji za zprávu (když jsem psala příspěvek, jsi ještě neměla substituci pro zadání C (tak?), proto jsem nemohla nic posoudit), můj návrh byl takový pokus o náznak kreativity. Příště zůstanu u standardů (a snad ani to ne).

Zdravím v tématu.

Rumburak

↑ jelena:

Zdravím Tě, Jeleno, a doufám, že raději zůstaneš u své kreativity. :-)
Za tu v příspěvku ↑ jelena: bych Ti hnad dal "+", kdyby to technicky šlo.

jelena · 08. 03. 2011 15:09

↑ Rumburak:

To bych měla :-) Zebrologie je v hlubokém úpadku.

Děkuji velmi a zdravím.

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2011 00:44 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:19)

integrály s odmocninami a jeden cosinus

#2 07. 03. 2011 01:51

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#3 07. 03. 2011 08:28

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#4 07. 03. 2011 10:21 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:26)

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#5 07. 03. 2011 10:25 — Editoval Honzc (07. 03. 2011 10:28)

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#6 07. 03. 2011 10:33

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#7 07. 03. 2011 10:38

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#8 07. 03. 2011 10:43 — Editoval Rumburak (07. 03. 2011 10:51)

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#9 07. 03. 2011 10:50 — Editoval ladab (07. 03. 2011 10:53)

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#10 07. 03. 2011 10:52 — Editoval Rumburak (07. 03. 2011 10:53)

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#11 07. 03. 2011 10:54

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#12 07. 03. 2011 11:29 — Editoval Rumburak (07. 03. 2011 13:22)

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#13 07. 03. 2011 12:36

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#14 07. 03. 2011 13:43 — Editoval Rumburak (07. 03. 2011 13:44)

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

#15 08. 03. 2011 15:09

Re: integrály s odmocninami a jeden cosinus

Zápatí