Matematické Fórum

mikl3 · 08. 03. 2011 18:01

dobrý den, dneska jsem řešil soustavu rovnic kvadratických a něco mi na tom nesedělo
dám příklad:
$144b^2 + 36a^2=a^2b^2$ $\beta$
$18b^2+13a^2=a^2b^2$ $\alpha$
sečetl jsem je a dostal
$126b^2+23a^2=0$
a jako druhou jsem použil $\alpha$
a pak si vyjádřil jednu neznámou a řešil
ale otázka - pro mě je sporný ten bod sečtení a opsání jedné rovnice, proto se ptám, je takto možné postupovat? děkuji
(o tom, že ta rovnice se v klidu nechá převést na nejmenší spol. násobek a sečíst vím)

Pavel Brožek · 08. 03. 2011 18:09

↑ mikl3:

Zkus si rozmyslet, jestli je původní soustava ekvivalentní soustavě rovnic

$18b^2+13a^2=a^2b^2$
$126b^2+23a^2=0$

Pokud máš řešení jedné soustavy, je to řešení i druhé soustavy? A naopak?

mikl3 · 08. 03. 2011 18:15 — Editoval mikl3 (08. 03. 2011 18:23)

↑ Pavel Brožek: zkusím odpovědět, ale buď na mě mírný :D
nemyslím si, že jsou ekvivalentní (nedokážu si nijak představit sečtení rovnic, ale myslím si, že nemohu pak připsat nějakou, jednu z těch, jež jsem sčítal, a jet dál)

2) jedna soustava a druhá, tomu nerozumím (asi ano - ale v tom případě ty soustavy mohou být úplně jiné a v tom případě neplatí, že řešení jedné je i řešením druhé), ale řešení soustavy je řešení jedné rovnice i druhé (nebo kolik jich v soustavě je)

Pavel Brožek · 08. 03. 2011 18:23

Tak základ je chápat, že pokud platí $a=b$ a $c=d$ , pak platí i $a+c=b+d$ (říkejme tomu tvrzení 1). To umíš dokázat?

Dále. Dejme tomu, že máme dvě soustavy:

$a=b\nl c=d$

a

$a+c=b+d\nl c=d$ .

Předpokládejme, že první soustava je splněna. Z toho však zřejmě plyne, že je splněna i druhá soustava (první rovnice druhé soustavy podle tvrzení 1 a druhá rovnice triviálně).

Předpokládejme, že druhá soustava je splněna. Z toho však zřejmě plyne, že je splněna i druhá rovnice první soustavy. Pak obě strany druhé rovnice druhé soustavy vynásobíme -1 a sečteme rovnice druhé soustavy podle tvrzení 1. Proto je splněna i první rovnice první soustavy.

Dokázali jsme tak, že soustavy jsou ekvivalentní.

mikl3 · 08. 03. 2011 18:27

↑ Pavel Brožek: velice děkuji, ano, takhle tomu rozumím, jen mě to nenapadlo (docela mě to zaráží)
když nad tím tak přemýšlím, tak co děláme když řešíme pomocí GEM?(zjednodušeně) to samé, sčítáme rovnice a další opisujeme a můžeme
tak já jdu vypočítat tu mojí rovnici (protože vyjdou 4. řády) a pak to sem postnu, velice děkuji za objasnění

mikl3 · 08. 03. 2011 18:50 — Editoval mikl3 (08. 03. 2011 18:54)

tak jdu postovat, vyšla totální kravina (jestli se ukáže, že tam mám pitomou chybu, tak se rozbrečím :D

je tam chyba, když dosazuju b do rovnice, omylem jsem napsal b, ale tam mát být $b^2$ ale to stejně nic nemění na tom, že to je kravina
když opravím chybu, tak $a=16$

Pavel Brožek

↑ mikl3:

Mně se to zdá nějak složitý, nepomohla by substituce $u=\frac1a$ a $v=\frac1b$ ? (Nebo rovnou $u=\frac1{a^2}$ a $v=\frac1{b^2}$ .)

↑ mikl3:

Smazal jsem svůj příspěvek, špatně jsem se podíval.

mikl3 · 08. 03. 2011 19:01

↑ Pavel Brožek: samozřejmě to jde řešit jinak, jednoduše, ale já jsem se chytl tohohle a rád bych věděl, kde mám chybu (jelikož asi jo) nebo čeho jsem se dopustil, že to takto nejde řešit

Pavel Brožek · 08. 03. 2011 19:04

↑ mikl3:

Má být $4032b^2$ . (Chybí ti tam b.)

mikl3 · 08. 03. 2011 19:06

↑ Pavel Brožek: no jo, já jsem ocas! koukám na to půl hodiny, pořád kontroluju a tohle!
přepočítám to jestli to vyjde

mikl3 · 08. 03. 2011 19:10 — Editoval mikl3 (08. 03. 2011 19:29)

tak here we go! a je to dobře $b=10$ auaa! to byl příkladek
děkuji moc, jen další reputaci mohu dát až za cca 270 minut (pokud zapomenu, připomeň)
díky

(ozvi se:)

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2011 18:01

soustavy rovnic

#2 08. 03. 2011 18:09

Re: soustavy rovnic

#3 08. 03. 2011 18:15 — Editoval mikl3 (08. 03. 2011 18:23)

Re: soustavy rovnic

#4 08. 03. 2011 18:23

Re: soustavy rovnic

#5 08. 03. 2011 18:27

Re: soustavy rovnic

#6 08. 03. 2011 18:50 — Editoval mikl3 (08. 03. 2011 18:54)

Re: soustavy rovnic

#7 08. 03. 2011 19:00 — Editoval mikl3 (08. 03. 2011 19:00) Příspěvek uživatele mikl3 byl skryt uživatelem mikl3. Důvod: objasněno

#8 08. 03. 2011 19:00 — Editoval Pavel Brožek (08. 03. 2011 19:02)

Re: soustavy rovnic

#9 08. 03. 2011 19:01

Re: soustavy rovnic

#10 08. 03. 2011 19:04

Re: soustavy rovnic

#11 08. 03. 2011 19:06

Re: soustavy rovnic

#12 08. 03. 2011 19:10 — Editoval mikl3 (08. 03. 2011 19:29)

Re: soustavy rovnic

Zápatí