Matematické Fórum

Aquabellla · 08. 03. 2011 21:00

Zdravím, dostala jsem příklad k přípravě na maturitu a nevím, jak na něj.
"Dokaž, že tečny hyperboly omezují s asymptotami trojúhelníky stejného obsahu."

Když vedu vrcholovou tečnu, z pravoúhlých trojúhelníků je vidět, že obsah obrazce je S=a.b, ale nevím, jak to zobecnit na jakoukoliv tečnu.
Při pokusu hledání odpovědi na internetu jsem narazila jenom na časopis z roku 1932, kde je pouze zmínka, že toto je známá vlastnost.

Předem děkuji za důkaz této vlastnosti

zdenek1 · 08. 03. 2011 22:11

↑ Aquabellla:
Máme danou hyperbolu. Zvolíme si soustavu souřadnic tak, aby počátek byl ve středu hyperboly a osy hyperboly byly totožné s osami souřadnic. (To lze udělat vždy).
Pak má hyperbola rovnici $\mathcal H:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Mějme bod $T[x_0;y_0]\in\mathcal H$
Tečna má rovnici $t:\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$ a asymptoty jsou $a_{1,2}:y=\pm\frac bax$
$P_1=t\cap a_1$
$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{\frac baxy_0}{b^2}=1\ \Rightarrow\ x=\frac{a^2b}{bx_0-ay_0},\,y=\frac{ab^2}{bx_0-ay_0}$
$P_2=t\cap a_2$
$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{\frac baxy_0}{b^2}=1\ \Rightarrow\ x=\frac{a^2b}{bx_0+ay_0},\,y=-\frac{ab^2}{bx_0+ay_0}$
Body $P_1$ a $P_2$ určují vektory $\stackrel{\longrightarrow}{OP_1}=\left(\frac{a^2b}{bx_0-ay_0};\frac{ab^2}{bx_0-ay_0};0\right)$ a $\stackrel{\longrightarrow}{OP_2}=\left(\frac{a^2b}{bx_0+ay_0};-\frac{ab^2}{bx_0+ay_0};0\right)$
Obsah $\triangle OP_1P_2$
$S=\frac12|\stackrel{\longrightarrow}{OP_1}\times\stackrel{\longrightarrow}{OP_2}|=\frac12\left|\left(0;0;-\frac{a^2b}{bx_0-ay_0}\cdot\frac{ab^2}{bx_0+ay_0}-\frac{ab^2}{bx_0-ay_0}\cdot\frac{a^2b}{bx_0+ay_0}\right)\right|=\frac{a^3b^3}{b^2x_0^2-a^2y_0^2}$

Protože ale bod $T$ leží na hyperbole, splňují jeho souřadnice rovnici $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1\ \Rightarrow\ b^2x_0^2-a^2y_0^2=a^2b^2$

$S=\frac{a^3b^3}{a^2b^2}=ab$

Pěkný maturitní příklad :-). Co to studuješ za školu?

jelena · 08. 03. 2011 22:49

↑ zdenek1: děkuji :-)

jednou jsem se pokoušela o důkaz (můžeš případně zkritizovat, děkuji), ale nepodařilo se mi použit materiál v odkazu od kolegy.

Zdravím.

Aquabellla · 09. 03. 2011 19:29

↑ zdenek1:

Děkuji mockrát :-)

Studuji Gymnázium Na Vítězné pláni a můj profesor je František Staněk, který je celkem známý na akademické půdě svou náročností a zaměřeností na důkazy. Dokonce jsem tu některé příklady viděla vyřešené z minulých let, takže nejsem jediná, kdo potřeboval akutní pomoc :-)

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2011 21:00

Tečny s asymptotami omezují stejné trojúhelníky

#2 08. 03. 2011 22:11

Re: Tečny s asymptotami omezují stejné trojúhelníky

#3 08. 03. 2011 22:49

Re: Tečny s asymptotami omezují stejné trojúhelníky

#4 09. 03. 2011 19:29

Re: Tečny s asymptotami omezují stejné trojúhelníky

Zápatí