Matematické Fórum

NetFenix · 25. 05. 2008 13:53

Narazil jsem na dva příklady a mám s nimi problém, že se mi to nedaří nějak upravit či nevim, lepší bude když tu jeden napíšu (možná s tím druhým to bude obdobné tak ho tu zatím nebudu psát)

př.:
$\int\frac{2x^2+3x+2}{x^2(x+2)}$
rozklad:
$\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+2}=\frac{2x^2+3x+2}{x^2(x+2)}$

$A(x^3+2x^2)+B(x^2+2x)+Cx^3=2x^2+3x+2$
$Ax^3+Cx^3=0$
$2Ax^2+Bx^2=2x^2$
$2Bx=3x$
Z toho jestli se nepletu tak:
$A=\frac{1}{4},B=\frac{3}{2},C=-\frac{1}{4}$

Dosazením a výpočtem:
$\frac{1}{4}ln|x|-\frac{3}{2x}-\frac{1}{4}ln|x+2|$
Což je zřejmě špatně poněvadž když jsem to hodil do programu pro zpětnou derivaci, abych si ověřil výsledek, tak to nevyšlo... Mohl by se na to někdo podívat, jestli tam mám někde chybu, či je to celé špatně :-D

robert.marik · 25. 05. 2008 13:57

$\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+2}=\frac{2x^2+3x+2}{x^2(x+2)}$
tuhle rovnici nasobime vyrazem x^2(x+2) takze treba x^3 u C nevznikne

A=B=C=1

http://calc101.com/webMathematica/partial-fractions.jsp

plisna · 25. 05. 2008 13:58 — Editoval plisna (25. 05. 2008 13:59)

je tam chyba - navrh na rozklad je ok, ale hned radek pod nim - to roznasobeni neni v poradku, nasobis celou rovnici vyrazem $x^2(x+2)$ a dostanes $Ax(x+2) + B(x+2) + Cx^2 = 2x^2+3x+2$ . zkus si to opravit, vyjde A = B = C = 1

EDIT: robert je holt rychlejsi... :)

NetFenix · 25. 05. 2008 13:59

je díky já jsem blbej... zase taková blbost z nepozornosti a jak to člověk udělá jednou tak to pak opakuje furt dokola analogicky a už na tom nepřemýšlí

NetFenix · 25. 05. 2008 14:09

takže ten druhý příklad tam to budu mít chybu asi někde jinde, poněvadž jsem to zkontroloval a snad se opět neztrapním:-)

př.:
$\int\frac{3x-1}{x^2+2x+5}dx$

$\frac{3x-1}{x^2+2x+5}=\frac{Ax+B}{x^2+2x+5}$
$A=3,B=-1$

A teď si nejsem jist, jak se to dosazuje, ale předpokládám, že takto:
$(A+B)\int(parametr)$
tzn.:
$2\int\frac{x}{x^2+2x+5}$
???

Jo a ještě bych se chtěl zeptat, jestli neznáte někdo nějakou stránku na internetu, kde by bylo pár řešených příkladů na substituce + nějaké povídání k tomu. Díky moc

plisna · 25. 05. 2008 14:16

vzdyt ten rozklad, co jsi udelal, je stale ta stejna funkce! musis ted do citatele dostat derivaci jmenovatele neco pricist a odecist - povede to na logaritmus a arkustangens - vis, jak na to?

NetFenix · 25. 05. 2008 14:21

jako musím do udělat tak, aby vlastně čitatel byl 2x+2 a pak to z tohu dostanu jak? To je nějaká úprava na nějaký vzorec?

plisna · 25. 05. 2008 14:28

$\int\frac{3x-1}{x^2+2x+5}\,\mathrm{d}x = \int\frac{3x}{x^2+2x+5}\,\mathrm{d}x - \int\frac{1}{x^2+2x+5}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2} \int\frac{2x+2-2}{x^2+2x+5}\,\mathrm{d}x - \int\frac{1}{x^2+2x+5}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2} \int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}\,\mathrm{d}x - 4 \int\frac{1}{x^2+2x+5}\,\mathrm{d}x$ .

prvni integral vede na logaritmus, ten je prakticky hotovy. druhy povede na arkustangens - zvladnes dopocitat sam?

NetFenix · 25. 05. 2008 14:33

ano moc díky

plisna · 25. 05. 2008 14:36

pro kontrolu - vysledek je $\frac{3}{2} \ln \left| x^2+2x+5 \right| - 2 \, \arctan \left( \frac{x+1}{2} \right)$

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2008 13:53

Integral skrze parcialni zlomky

#2 25. 05. 2008 13:57

Re: Integral skrze parcialni zlomky

#3 25. 05. 2008 13:58 — Editoval plisna (25. 05. 2008 13:59)

Re: Integral skrze parcialni zlomky

#4 25. 05. 2008 13:59

Re: Integral skrze parcialni zlomky

#5 25. 05. 2008 14:09

Re: Integral skrze parcialni zlomky

#6 25. 05. 2008 14:16

Re: Integral skrze parcialni zlomky

#7 25. 05. 2008 14:21

Re: Integral skrze parcialni zlomky

#8 25. 05. 2008 14:28

Re: Integral skrze parcialni zlomky

#9 25. 05. 2008 14:33

Re: Integral skrze parcialni zlomky

#10 25. 05. 2008 14:36

Re: Integral skrze parcialni zlomky

Zápatí