Matematické Fórum

Alivendes · 13. 03. 2011 18:57

Zdravím, potřeboval bych poradit, jak se derivuje s absolutní hodnotou, díky ..

teolog · 13. 03. 2011 18:58

↑ Alivendes:
Zdravím, je potřeba stanovit nulové body, z nich vytvořit intervaly a na každém intervalu se funkce derivuje zvlášť.

Alivendes · 13. 03. 2011 19:15

jde o to , ze jsem dostal takovohle zadani od kamaradky:
$|f(x)|=\frac{|3x+5|}{|x+1|}$

potřeboval bych vědět derivaci ( nepiš mi sem výsledek prosím)
nulové body :
$x_0=-1,\frac{-5}{3}$

intervaly:
$(-\infty,-1),(-1,\frac{-5}{3}),(\frac{-5}{3},\infty)$

Jak to myslíš jako na každém intervalu ...tam kde je funkce záporná, změnit znaménko a zderivovat ?? ..

A dál bych se chtěl zeptat jestli je vůbec možný takovýhle zápis, jakot o fx v absolutní hodnotě

teolog · 13. 03. 2011 19:23

↑ Alivendes:
Řešení funkce rozdělíte pro jednotlivé intervaly.
Například první interval $(-\infty,-1)$ vede po úpravě na tuto funkci: $f(x)=\frac{-3x-5}{-x-1}$ . Toto se zderivuje klasickým způsobem. A podobně se pracuje s dalšími intervaly. Protože jseou tři, tak derivace může mít tři různé podoby.

A zápis $|f(x)|=\frac{|3x+5|}{|x+1|}$ podle mne správný není.
Když už, tak $f(x)=\frac{|3x+5|}{|x+1|}$ .

Alivendes

↑ teolog:

1) $x\epsilon(-\infty,\frac{-5}{3})$
$f(x)=\frac{-3x-5}{-x-1}$
$f'(x)=\frac{(-3x-5)'(-x-1)-(-3x-5)(-x-1)'}{x^2+2x+1}$
$f'(x)=\frac{-3(-x-1)-(-3x-5)-1}{x^2+2x+1}$
$f'(x)=\frac{3x+3-3x-5}{(-x-1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

2) $x\epsilon(\frac{-5}{3},-1)$
$f(x)=\frac{3x+5}{-x-1}$
$f'(x)=\frac{(3x+5)'(-x-1)-(3x+5)(-x-1)'}{(-x-1)^2}$
$f'(x)=\frac{3(-x-1)-(3x+5)-1}{(-x-1)^2}$
$f'(x)=\frac{-3x-3+3x+5}{(-x-1)^2}=\frac{2}{(-x-1)^2}$

3) $x\epsilon(-1,\infty)$
$f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$
$f'(x)=\frac{(3x+5)'(x+1)-(3x+5)(x+1)'}{(x+1)^2}$
$f'(x)=\frac{3x+3-3x-5}{(x+1)^2}=\frac{-2}{(x+1)^2}$

Teď jsem spočítal derivace v každém intervalu, je potom nějaká výsledná derivace jako konečný výsledek?

teolog · 13. 03. 2011 23:11

↑ Alivendes:
No, jak kdy. V tomto případě je například výsledek 1) stejný, jako 2). A výsledek 3) se liší jen ve znaménku.
Výsledek bych zapsal takto:

zdenek1 · 14. 03. 2011 08:01

↑ Alivendes:
V prvním intervalu máš chybu na posledním řádku
$3x+3-3x-5=$

Alivendes · 14. 03. 2011 11:15

↑ teolog:
Díky, a když mám vyšetřit průběh funkce, tak v každém intervalu udělám ,,podintervaly,, kde je derivace kladná a záporná ?,

zdenek1 · 14. 03. 2011 11:22

↑ Alivendes:
Ano

Alivendes · 14. 03. 2011 11:25

↑ zdenek1:
Diky moc...a myslím že chybu tam nemám ...vytknul jsem minus ze jmenovatele a zkratil s minusem u dvojky ..a ještě jedna otázka jak sme řešili to fx v absolutní hodnotě , je možné tohle ? ?? ...kamarádka mi poslala taková zadání na vyřešní a podle mě takové zápisy moc nedávají smysl, alespoň nikdy jsem se stím nesetkal

$f|(x)|=\frac{3|x|+5}{|x|+1}$

jelena · 14. 03. 2011 11:48

↑ Alivendes:

Zdravím,

máš (přesně řečeno - kamarádka má) dost nejasno.

V prvním případě si myslím, že měla funkci

$f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$ a požadavkem bylo vyšetřit funkci $\left|f(x)\right|$ , tedy celá funkce je v absolutní hodnotě.

V druhém případě vyšetřuje $f(|x|)$ , tedy pouze argument funkce je v absolutní hodnotě.

Z toho může být zmatek. Zkus v tom, prosím, udělat jasno. Případně si založit nové téma, pokud začneš vyšetřovat jinou funkci. Děkuji.

Alivendes · 14. 03. 2011 12:33

↑ jelena:

Děkuji , ona mi to poslala jako příklady, co jí zadal profesor, nikdy předtím sem to neviděl tak jsem se raději zeptal předtím než to zavrhnu :) ...

jinak chci vyšetřovat výše zminěnou funkci :
$f(x)=\frac{|3x+5|}{|x+1|}$
$f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2} pro x \epsilon(-\infty,\frac{-5}{3}) \nlf'(x)=\frac{2}{(-x-1)^2} pro x \epsilon(\frac{-5}{3},-1)\nlf'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2} pro x \epsilon(-1,\infty)$

1) $x\epsilon(-\infty,\frac{-5}{3})$
$f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$ - nule se to nebude rovnat nikdy, neexistují stacionární body

Klesající:
$\frac{2}{(x+1)^2} <0$
$(x+1)^2 <0$ -cokoliv nadruhou je vždy nezáporné --> funkce je v tomhle intervalu na celém definičním oboru rostoucí.

2) $x\epsilon(\frac{-5}{3}),-1)$ - opět nejsou stacionární body a funkce je v daném intervalu na celém definičním oboru rostoucí

$f'(x)=\frac{2}{(-x-1)^2}$

3) $x\epsilon(-1,\infty$
$f'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}$ -stacionární body nejsou

Klesající:
$\frac{-2}{(x+1)^2} <0$
$(x+1)^2 >0$ --> funkce je v daném intervalu na celém definičním oboru klesající.

Je takhle správně vyšetřen průběh funkce ??

jelena · 14. 03. 2011 12:51

To je tak:

V derivaci jsou drobné překlepy:

$f'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2} pro x \epsilon(-\infty,\frac{-5}{3}) \nlf'(x)=\frac{2}{(x+1)^2} pro x \epsilon(\frac{-5}{3},-1)\nlf'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2} pro x \epsilon(-1,\infty)$

$f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$ je v podílovém tvaru, pro stanovení znamének můžeme používat přepis na součinový tvar: $f(x)=(3x+5)(x+1)$

odsud je interval se záporným znaménkem je (-5/3, -1), "prostřední hodnota derivace"

intervaly s kladným jsou 2: (-oo, -5/3)U(-1, +oo) "první" a "třetí" hodnota derivace musí být stejné.

Zbytek již jsem nekontrolovala (oprava znamenek).

ALE:

1. Vyšetření funkce začneme VŽDY z def. oboru.

2. Neprovádíme neúčinné kroky - tedy zde vyšetřujeme $f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$ a z vlastnosti absolutní hodnoty funkce upravíme graf pouze na závěr.

3. Slušný člověk lineární lomenou funkci nevyšetřuje, ale vychází pouze z vlastnosti takové funkce.

4. V takových derivacích, jak máš, nastává problém okrajových bodů, kde derivace neexistuje. Také je problém v bodech, kde derivace neexistuje atd.

Skutečně kamarádka to má vyšetřovat pomocí průběhu funkce ve všech povinných krocích¨- viz studijní text?

Děkuji.

Alivendes · 14. 03. 2011 13:15

↑ jelena:

Takže mám tedy výsledky špatně ? ...ano, definiční obor jsem tam zapomněl připsat, to je pravda ..

jelena · 14. 03. 2011 13:25

↑ Alivendes:

Oprav si výsledek derivace (znaménka), od toho se pomění chování.

Ale vážně - takovou cestou se velmi nadřeš a výsledek žádný - zjistit, že v bodě x=-5/3 nastává zlom (lokální minimum) to se skoro nepodaří.

To se rozhodní sam, co je pro Tebe schůdnější - vyšetřit $f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$ a "zlomit" část, která vyjde pod osou x nebo něco jiného (tedy Tvá cesta přes derivace).

S Tvou kvalitní znalosti matematiky bych předpokladala spíš cestu první (přes $f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$ a zlom), než šaškování s derivaci. Nu ne?

Alivendes · 14. 03. 2011 13:31

Nemám zas tak veliké znalosti matematiky, jsem studentem 1. ročníku gymnasia a matematice se věnuji jako zálibě :) ..nemám v tomhle ještě zas tak velkou praxi ...máš na mysli vyšetřit funkci bez absolutní hodnoty a pak se nezabávat zápornými funkčními hodnotami pod osou x ? ..

jelena · 14. 03. 2011 13:42

↑ Alivendes: :-)

To jsou mi novinky - kdo se věnoval doučování starších ročníků apod.

Mam na mysli, že buděš se věnovat lineárně lomené funkci a úplně na závěr budeš používat absolutní hodnotu pro celou funkci a "zlomiš" kousek grafu na intervalu (-5/3, -1).

Tak - viz rozdíl.

Pokud kamarádka oprvadu potřebuje celý postup vyšetření (extrémy, konvexní, konkávní apod), tak potom vyšetřuj jen $f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$ a také na závěr zlomiš.

Rozumíš mi, prosím?

Alivendes · 14. 03. 2011 14:00

↑ jelena:
:) nějak tak

Už tomu myslím rozumím, v intervalu (-5/3,-1) jsou funkční hodnoty záporné , proto to s absolutní hodnotou jakoby otočím nahoru podle osy x ?

jelena · 14. 03. 2011 14:08

↑ Alivendes:

":) nějak tak" (c)

Uznej, že je to lepší.

--------------------------
Až potom budeš vyšetřovat 2. funkci od kamarádky $f|(x)|=\frac{3|x|+5}{|x|+1}$ tak se funkce rozděli na 2 intervaly (pro x (-oo, 0)) bude předpis $f(x)=\frac{-3x+5}{-x+1}$ a na intervalu (0, +oo) bude $f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$

Myslím, že už to bude v pořádku. Měj se.

Alivendes · 14. 03. 2011 14:16

Děkuji ...ještě asi poslední dotaz k těmto funkcím, jak se stanoví iverzní funkce k téhle funkci ..tj s absolutní hodnotou ? ..Díky

jelena · 14. 03. 2011 14:20

U inverzních bude "problém", že funkce s absolutní hodnotou není prostá. Tedy je třeba rozdělit na intervaly, kde prostá je, a na každém intervalu stanovit inverzní funkci.

Samotné vyjadřování inverzní funkce, např. ze zápisu $f(x)=\frac{3x+5}{x+1}$ je jasné?

Alivendes · 14. 03. 2011 14:36

Ano to je mi jasné :) ...to je vlastně pravda, že pro dvě různá x může vyjít v absolutní hodnotě stejná funkční hodnota ..díky mnohokrát, moc jsi mi pomohla :)

jelena · 14. 03. 2011 14:43

↑ Alivendes:

:-) není za co, také děkuji.

Alivendes · 14. 03. 2011 15:24

↑ jelena:

Nakonec to všechno ještě není, jak se dá pomocí těch mojí derivací zjistit, že funkce má v bodě [-5/3,0] lokální minimum ...z grafu je to vidět hned ...ale jak na to můžu přijít početně ?

jelena · 14. 03. 2011 15:40

Já jsem Tebe varovala, abys touto cestou nešel, a měla jsem pocit, že nemáš v plánu volit tuto cestu.

Pokud na tom trváš, musíš prokázat, že v bodě x=-5/3 derivace neexistuje, ale nastává zde hrot a nevím, jak korektně bych to uměla dokazovat.

To by musela být opravdová matematická autorita, ne já. Doufám, že snad autorita přesvedčí, že toto není vhodná cesta. Nebo bude důkaz. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2011 18:57

Derivace

#2 13. 03. 2011 18:58

Re: Derivace

#3 13. 03. 2011 19:15

Re: Derivace

#4 13. 03. 2011 19:23

Re: Derivace

#5 13. 03. 2011 20:25 — Editoval Alivendes (14. 03. 2011 11:22)

Re: Derivace

#6 13. 03. 2011 23:11

Re: Derivace

#7 14. 03. 2011 08:01

Re: Derivace

#8 14. 03. 2011 11:15

Re: Derivace

#9 14. 03. 2011 11:22

Re: Derivace

#10 14. 03. 2011 11:25

Re: Derivace

#11 14. 03. 2011 11:48

Re: Derivace

#12 14. 03. 2011 12:33

Re: Derivace

#13 14. 03. 2011 12:51

Re: Derivace

#14 14. 03. 2011 13:15

Re: Derivace

#15 14. 03. 2011 13:25

Re: Derivace

#16 14. 03. 2011 13:31

Re: Derivace

#17 14. 03. 2011 13:42

Re: Derivace

#18 14. 03. 2011 14:00

Re: Derivace

#19 14. 03. 2011 14:08

Re: Derivace

#20 14. 03. 2011 14:16

Re: Derivace

#21 14. 03. 2011 14:20

Re: Derivace

#22 14. 03. 2011 14:36

Re: Derivace

#23 14. 03. 2011 14:43

Re: Derivace

#24 14. 03. 2011 15:24

Re: Derivace

#25 14. 03. 2011 15:40

Re: Derivace

Zápatí