Matematické Fórum

Alivendes

Zdravím, zabýval jsem teď rozvojem funkcí v nekonečné řady a chtěl bych se zeptat jak se myslí to, že funci lze rozvninout v taylorovu řadu pouze v případě všech derivací.
Mě se zajímá když je třeba třetí derivace nule a tak čtvrtá je taky nula nebo neexistuje. Děkuji ...

musixx · 21. 03. 2011 14:40 — Editoval musixx (21. 03. 2011 14:42)

Taylorův polynom je aproximace funkce v bodě (a jeho okolí). A derivace jsou potřeba jen v tom jednom bodě a jen jejich hodnoty (při typickém značení se tam vyskytují členy $\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k$ . Z toho, že třeba $f^{\prime\prime\prime}(5)=0$ neplyne nic o tom, kolik je $f^{(4)}(5)$ , může to být klidně 28, není pravda, že by to muselo být zase nula nebo že by tam čtvrtá derivace vůbec nemohla existovat.

EDIT: Jo kdyby na nějakém okolí byla třeba třetí derivace jako funkce stále rovna nule, pak by i všechny ostatní derivace tam nulové byly. To se ti asi trochu smíchalo.

Rumburak

Pokud jde o (nekonečnou) T. řadu:
Konečné derivace všech řádů v bodě x = a, který je tzv. středem rozvoje, požaduje definice T. řady .
Tato řada může na nějakém okolí středu konvergovat k původní funkci nebo také nemusí.

K tomu, abychom mohli pozitivně vyřešit otázku, zda skutečně

(1) na určitém okolí středu je součet nekonečné T. řady roven dané funkci,

nám výrazným způsobem pomůže, když daná funkce má konečné derivace všech řádů na celém tomto okolí.
Je to dokonce nutná podmínka (ne však postačující) pro to, aby výrok (1) platil.

Viz Odkaz .

Alivendes · 21. 03. 2011 15:39

To vím, už jsem některé řady i spočetl. Ale proč nemůžu třeba rozvést v řadu funkci y=2x ..protože třetí a vyšší derivace neexistuje?

halogan · 21. 03. 2011 15:47

↑ Alivendes:

Ty derivace existují, jen jsou nulové. A ono je celkem zbytečné aproximovat polynom (prvního stupně) Taylorovým polynomem... protože dostaneš v tomhle případě to samé.

Alivendes · 21. 03. 2011 15:52

↑ halogan:
Děkuji, teď je mi to jasné.

halogan · 21. 03. 2011 16:07

↑ Alivendes:

Jak se to postupně přibližuje je vidět na ukázkách od Wolfram Inst., kde si můžeš stáhnout jejich Mathematica Player a pak si stahovat různé ukázky. Tady je video s Taylorovým polynomem. V tom Playeru máš šoupátka, kde měníš stupeň rozvoje. Je to taková zábavná výuka, člověk u toho může svačit a s blaženým úsměvem oslavovat vítězství nad matematickou látkou.

A taky nezapomeň rozlišovat Taylorův polynom a Taylorův rozvoj. To první je jen polynom s těmi spočtenými koeficienty, to druhé je polynom + funkce chyby. Funkční hodnota toho prvního se nemusí rovnat v každém bodě, zatímco to druhé se rovná (díky té funkci chyby).

Já třeba tyto dva pojmy často nerozlišuju, a vytvářím tak zbytečný bordel.

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2011 14:27 — Editoval Alivendes (21. 03. 2011 14:28)

Tayloří Polynom

#2 21. 03. 2011 14:40 — Editoval musixx (21. 03. 2011 14:42)

Re: Tayloří Polynom

#3 21. 03. 2011 15:03 — Editoval Rumburak (21. 03. 2011 15:21)

Re: Tayloří Polynom

#4 21. 03. 2011 15:39

Re: Tayloří Polynom

#5 21. 03. 2011 15:47

Re: Tayloří Polynom

#6 21. 03. 2011 15:52

Re: Tayloří Polynom

#7 21. 03. 2011 16:07

Re: Tayloří Polynom

Zápatí