Matematické Fórum

Pavel Brožek

Mějme diferenciální rovnici

$(\phi'(t))^2=A\cdot(2+\cos \phi(t))$ ,

kde $A>0$ je konstanta, s počáteční podmínkou $\phi(0)=0$ a $\phi'(0)>0$ . Předpokládejme, že $\phi'(t)$ je spojitá funkce.

Funkce $\phi(t)$ je zřejmě rostoucí. Číslo t, ve kterém funkce $\phi(t)$ nabývá hodnoty $2\pi$ zřejmě závisí na konstantě A, značme ho $t(A)$ . Pokuste se co nejlépe popsat chování funkce $t(A)$ . (Tím myslím, abyste zapsali funkci $t(A)$ pomocí elementárních funkcí.)

(Tuším, jaké je řešení, ale zatím to nedokážu dokázat. [Edit: teď už to umím dokázat.] Úloha pochází z řešení fyzikálního modelu, z toho se dá závislost uhádnout.)

check_drummer · 21. 03. 2011 20:30

↑ Pavel Brožek:
Je ona diferenciální rovnice řešitelná v uzavřeném tvaru? Pokud ano, má být nalezení jejího řešení součástí řešení celé úlohy nebo je možno ho uvést (jako hint)?

Pavel Brožek · 21. 03. 2011 20:41

↑ check_drummer:

Mathematica mi dává řešení pomocí funkce JacobiAmplitude. Spíš by mě zajímalo, jestli jde závislost nějak elegantně určit bez vyřešení rovnice.

check_drummer · 22. 03. 2011 16:00

↑ Pavel Brožek:
Z čeho prosím plyne, že je funkce rostoucí? Díky.

Pavel Brožek · 22. 03. 2011 20:35

↑ check_drummer:

Omlouvám se za nepřesnost. Že je funkce $\phi(t)$ rostoucí není vůbec zřejmé, pokud vůbec je nutně rostoucí, nenašel jsem způsob, jak to ukázat.

Předpokládejme tedy, že $\phi'(t)$ je spojitá funkce. Pak už to snad zřejmé opravdu je. (Opravil jsem zadání.)

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2011 19:45 — Editoval Pavel Brožek (22. 03. 2011 20:38)

Najděte funkční závislost

#2 21. 03. 2011 20:30

Re: Najděte funkční závislost

#3 21. 03. 2011 20:41

Re: Najděte funkční závislost

#4 22. 03. 2011 16:00

Re: Najděte funkční závislost

#5 22. 03. 2011 20:35

Re: Najděte funkční závislost

Zápatí