Matematické Fórum

Monnie · 23. 03. 2011 18:52 — Editoval Monnie (23. 03. 2011 18:55)

Pomůžete mi někdo s integrálem cos^4(x) lámu si stím hlavu už dvě hodiny, musí to být metodou per partes

N3st4 · 23. 03. 2011 21:05

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … ual=Submit
Daj si tam "show steps". ;)

Monnie · 23. 03. 2011 21:07

No jasně, ale to tam je podle nákého divného vzorce, přitom to má normálně jít přes per partes

N3st4 · 23. 03. 2011 21:09

Tak to idem skúsiť cez per partes. :) Daj mi pár minút.

RePRO · 23. 03. 2011 21:11 — Editoval RePRO (23. 03. 2011 21:38)

Ahoj,
opravdu to jde metodou per partes. A docela i jednoduše když se zamyslíš (i když to není úplně optimální a nejsem si jist, zda-li je to možný :-D):

u = 1
v' = cos^4(x)

Ale takhle si vlastně vůbec nepomůžem, takže mě napadá ještě alternativa. -- Aha, takže metodou per partes mě nakonec nic nenapadá. :-)

---

A pomocí metody substituce se pak nabízí t = tg x.

N3st4 · 23. 03. 2011 21:46

Okay :D .. Jedno riešenie by som mal. Je dosť komplikované. Potom sa tam využíva trigonometrický vzorec.
Postup je nasledovný:
int cos^4(x) dx = int cos(x) * cos^3(x) dx = Per partes ... u= cos(x) v'=cos^3(x)
u'=-sin(x) v=1/12 * (9sin(x)+sin(3x)
Tam pri tom per partes budeš musieť robiť :
int cos^3(x) dx .. to prebehne cez per partes ... znova to rozdelíš na cos(x) * cos^2(x) ....

Späť k pôvodnému per partes ... :)

Niekde ďalej ti vyjde, že int sin(x) sin(3x) dx ... tu použiješ sin(A) * sin(B) = 1/2 * (cos(A-B) - cos(A+B)) ; A=x; B=3x
Potom to už pôjde pekne :) ;)
Zaujímavý príklad :P
..Možno chaoticky napísané, ale snáď pochopíš. A ak nie, tak sa pýtaj. Veľa šťastia.

Monnie · 23. 03. 2011 21:49

Mno měli jsme to jako jeden ze základních příkladů na PP :D Asi náký vtípek jak vidím ten výpočet:D Ale díky moc:)

N3st4 · 23. 03. 2011 21:51

:D :D .. Pozri, ja netvrdím, že nie je jednoduchšie riešenie, len ma zrovna nenapadá. A z wolframu sa nauč tú redukčnú formulu, lebo sa to celkom hodí :)

claudia

Bez složitých vzorců bych to počítala jako:

$\int \cos^4 x\ \mathrm{d}x&=\int $\cos^2 x$^2\ \mathrm{d}x= \frac{1}{4}\int $\cos 2x + 1$^2\ \mathrm{d}x =\\&=\frac{1}{4}\int \cos^2 2x + 2\cos 2x + 1\ \mathrm{d}x =\\&=\frac{1}{4}\int \frac{1}{2}$\cos 4x +1$ + 2\cos 2x + 1\ \mathrm{d}x$

claudia

Pokud by to nutně muselo být per partes (ale nedokáži si představit, jaký by to mělo smysl), asi by to šlo následovně:

1) první aplikace per partes

$\int \cos^4 x\ \mathrm{d}x&=\int \cos x\cdot\cos^3 x\ \mathrm{d}x= \sin x \cos^3 x +3 \int \sin^2 x\cdot\cos^2 x\ \mathrm{d}x$

2) úprava nového integrálu

$\int \sin^2 x\cdot\cos^2 x\ \mathrm{d}x=\int $1-\cos^2 x$\cdot\cos^2 x\ \mathrm{d}x=\int \cos^2 x\ \mathrm{d}x - \int \cos^4 x\ \mathrm{d}x$

3) získání rovnice pro původní integrál za předpokladu vyřešení snazšího integrálu

$\int \cos^4 x\ \mathrm{d}x&= \sin x \cos^3 x +3 $\int \cos^2 x\ \mathrm{d}x - \int \cos^4 x\ \mathrm{d}x$$

4) vyřešení snazšího integrálu, opět per partes a získáním rovnice

$\int \cos^2 x\ \mathrm{d}x=\sin x \cos x + \int \sin^2 x\ \mathrm{d}x=\sin x \cos x + \int 1\ \mathrm{d}x - \int \cos^2 x\ \mathrm{d}x$

(Nedopočítávala jsem, zda výsledek souhlasí, nevylučuji přítomnost chyby.)

Monnie · 24. 03. 2011 19:48

Díky moc tolik řešení jsem ani nečekala :)

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2011 18:52 — Editoval Monnie (23. 03. 2011 18:55)

integál

#2 23. 03. 2011 21:05

Re: integál

#3 23. 03. 2011 21:07

Re: integál

#4 23. 03. 2011 21:09

Re: integál

#5 23. 03. 2011 21:11 — Editoval RePRO (23. 03. 2011 21:38)

Re: integál

#6 23. 03. 2011 21:46

Re: integál

#7 23. 03. 2011 21:49

Re: integál

#8 23. 03. 2011 21:51

Re: integál

#9 23. 03. 2011 22:36 — Editoval claudia (23. 03. 2011 22:51)

Re: integál

#10 23. 03. 2011 22:50 — Editoval claudia (23. 03. 2011 22:51)

Re: integál

#11 24. 03. 2011 19:48

Re: integál

Zápatí