Matematické Fórum

nordec · 24. 03. 2011 20:59

Zdravím, jak by šlo dokázat toto:
soustava rovnic Ax = b má řešení právě, když soustava y^T A = 0, y^T b = −1 nemá řešení?

claudia

Skryto, nesmysl, viz níže.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek · 24. 03. 2011 23:03

↑ claudia:

Mám podezření, že nadvakrát dokazuješ to samé :-).

Máme výroky:

X: $Ax=b$ má řešení.
Y: Soustava $y^TA=0$ a $y^Tb=-1$ má řešení.

Máme dokázat $X\Leftrightarrow\neg Y$ . Ty ale v první části podle mě dokazuješ $Y\Rightarrow \neg X$ , ale měla bys dokazovat $\neg Y\Rightarrow X$ (resp. $\neg X\Rightarrow Y$ ). Nebo se pletu?

Sám zatím nevím, jak implikaci $\neg Y\Rightarrow X$ dokázat.

claudia

Souhlasím, právě jsem to sem chtěla napsat, jak se mi to rozleželo v hlavě :-) Děkuji za kontrolu.

claudia

Zkusím to tedy znovu a lépe:

----- ----- -----

1) Nejprve dokážeme, že nemohou mít současně obě strany řešení.

Pro spor předpokládejme, že je splněna levá i pravá rovnost. Víme, že $A x = b$ , $y^T A = 0$ , pak nutně $y^T b = -1 \Rightarrow y^T $A x$ = -1 \Rightarrow $y^T A$ x = -1 \Rightarrow 0 x = -1 \Rightarrow 0 = -1$ , což je spor.

----- ----- -----

2) Zbývá dokázat, že se nemůže stát, že by obě řešení neměly. Konkrétně dokážeme, že pokud levá strana řešení nemá, pak pravá strana řešení má.

Označme si $V := \{\mathbf{v}\ |\ \mathbf{v}^T\mathbf{A} = 0\}, U := \{\mathbf{u}\ |\ \mathbf{u}^T\mathbf{(A|b)} = 0\}$ . Protože levá strana nemá řešení (dle předpokladu), z Frobeniovy věty plyne $\mathrm{rank}\ \mathbf{A} < \mathrm{rank}\ \mathbf{(A|b)}$ , pak nutně $\mathrm{dim}\ V > \mathrm{dim} U$ . Existuje tedy vektor $\mathbf{y}$ takový, že $\mathbf{y}\in V\ \&\ \mathbf{y} \notin U$ . Zřejmě $\mathbf{y}^T\mathbf{A} = 0$ , tedy $\mathbf{y}^T\mathbf{b}=c \neq 0$ (jinak by $\mathbf{y}^T\mathbf{(A|b)}=0$ , což je spor s volbou $\mathbf{y}$ ). Nakonec zvolme $\mathbf{y'}=$-c^{-1}$\mathbf{y}$ . Pak platí $\mathbf{y'}^T\mathbf{A}=$-c^{-1}$\mathbf{y}^T\mathbf{A}=$-c^{-1}$0=0$ a také $\mathbf{y'}^T\mathbf{b}=$-c^{-1}$\mathbf{y}^T\mathbf{b}=$-c^{-1}$c=-1$ a $\mathbf{y'}$ je hledaným řešením pravé strany.

----- ----- -----

3) Protože nemůže nastat, že by obě strany řešení měly, ani to, že by obě řešení neměly, má vždy řešení právě jedna strana, což je dokazovaná ekvivalence.