Matematické Fórum

Yuyik · 31. 03. 2011 13:34

Ahoj,
v testu jsem měla toto komplexní číslo umocněné na čtvrtou: (tg pí/4 - i)^4. Šlo o to jen nějakým způsobem ho co nejvíc upravit bez toho, aniž bych vypočítala tg pí/4, sin pí/4 atd. Došla jsem k tomuto:

(tg pí/4 - i)^4 = ((sin pí/4)/(cos pí/4) - i)^4 = ((sin pí/4 - i*cos pí/4)/cos pí/4)^4

a teď nevím, co dál. Díky za radu.

P.S.: Omlouvám se za syntaxi. Brzy už snad ovládnu TeX :-)

Cheop · 31. 03. 2011 13:51 — Editoval Cheop (31. 03. 2011 13:52)

↑ Yuyik:
Ta tvá úprava se mi nezdá.
Když dosadím do původního výrazu za $\rm{tg}\left(\frac\pi4\right)=1$ a umocním dostanu výsledek $-4$
Když dosadím do tvé úpravy za $\sin\left(\frac\pi4\right)=\cos\left(\frac\pi4\right)=\frac{1}{\sqrt2}$ tak mi vyjde
$\sqrt2(1-i)$

Yuyik · 31. 03. 2011 14:08

Nemůžu si pomoct, ale když dosadím 1/(2)^1/2 za sin pí/4 = cos pí/4 do výrazu ((sin pí/4)/(cos pí/4) - i)^4, vyjde mi (1 - i)^4 a když dosadím do toho druhého ((sin pí/4 - i*cos pí/4)/cos pí/4)^4 vyjde mi (1/4 * (1 - i)^4)/(1/4). Pak se mi 1/4 zkrátí a opět dostávám (1 - i)^4

musixx · 31. 03. 2011 14:19

↑ Yuyik: Já bych pokračoval v tom tvém započatém:
$\left(\frac{\sin\frac\pi4-{\rm i}\cos\frac\pi4}{\cos\frac\pi4}\right)^4=\frac{\sin^4\frac\pi4-4{\rm i}\sin^3\frac\pi4\cos\frac\pi4-6\sin^2\frac\pi4\cos^2\frac\pi4+4{\rm i}\sin\frac\pi4\cos^3\frac\pi4+\cos^4\frac\pi4}{\cos^4\frac\pi4}$
Teď použít $\sin(a)=\cos\left(\frac\pi2-a\right)$ , tedy $\sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4$ a máme, že se původní výraz rovná $\frac{-4\cos^4\frac\pi4}{\cos^4\frac\pi4}$ , no a protože snad podmínka $\cos\frac\pi4\neq0$ se nebude považovat za vyčíslení cosinu, tak máme celkový výsledek $-4$ .

musixx · 31. 03. 2011 14:20

↑ Yuyik: Ano, ↑ Cheop: se nějak zmýlil v dosazování do tvého výsledku

Honzc · 31. 03. 2011 14:22 — Editoval Honzc (31. 03. 2011 14:28)

↑ Yuyik:
A proč nevyužiješ toho, že sin(pi/4)=cos(pi/4) a to nedosadíš do tvého posledního výrazu.
Pak z první závorky vytkneš cos(pi/4) to zkrátíš s tím cos(pi/4) za lomítkem a dostaneš (1-i)^4

A nebo proč té rovnosti nevyužít hned na začátku:
tg(pi/4)=sin(pi/4)/cos(pi/4)=sin(pi/4)/sin(pi/4)=1. Jak je vidět nic není vyčísleno.

musixx · 31. 03. 2011 15:23

↑ Honzc: I u toho svého příspěvku jsem váhal, jestli začít používat rovnost $\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4$ , protože to de facto znamená vyčíslení toho $\tan\frac\pi4$ , čemuž se od začátku chceme bránit.

Yuyik · 31. 03. 2011 15:37

To je otázka co pan doktor konkrétně myslel tím "upravte bez vyčíslení" a co považuje za správný výsledek. No každopádně díky za pomoc. Nějak mě netrkla ta evidentní věc, že se ten sinus a kosinus rovnají. Doufám, že kvůli takovýmto případům nebude toto letní zkouškoví moje poslední.

Rumburak · 31. 03. 2011 16:30

Napadla mne ještě jedna technická varianta:

$\left( \sin\frac\pi4-{\rm i}\cos\frac\pi4\right)^4=\left(-{\rm i}^2 \sin\frac\pi4-{\rm i}\cos\frac\pi4\right)^4=\left[(-{\rm i})\left({\rm i} \sin\frac\pi4+\cos\frac\pi4\right) \right]^4= (-{\rm i})^4\left(\cos\frac\pi4 + {\rm i} \sin\frac\pi4 \right)^4$ ,

poslední závorku můžeme umocnit podle Moivreovy věty.

Yuyik · 31. 03. 2011 17:31

To mě taky už pak napadlo, ale mám takový pocit, že breptal něco o tom, že nechce žádný umocňování (ve smyslu umocňování podle Moivreovy věty). Nejlepší řešení bude asi nejspíš to od musixx.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2011 13:34

Úprava komplexního čísla

#2 31. 03. 2011 13:51 — Editoval Cheop (31. 03. 2011 13:52)

Re: Úprava komplexního čísla

#3 31. 03. 2011 14:08

Re: Úprava komplexního čísla

#4 31. 03. 2011 14:19

Re: Úprava komplexního čísla

#5 31. 03. 2011 14:20

Re: Úprava komplexního čísla

#6 31. 03. 2011 14:22 — Editoval Honzc (31. 03. 2011 14:28)

Re: Úprava komplexního čísla

#7 31. 03. 2011 15:23

Re: Úprava komplexního čísla

#8 31. 03. 2011 15:37

Re: Úprava komplexního čísla

#9 31. 03. 2011 16:30

Re: Úprava komplexního čísla

#10 31. 03. 2011 17:31

Re: Úprava komplexního čísla

Zápatí