Matematické Fórum

Nakreslená funkce má v každém bodě intervalu <2,3>  lokální minimum , které však v žádném z těchto bodů
není ostrým lokálním minimem.

Aby v některém bodě   bylo ostré lokální minimum, muselo by existovat takové, aby
pro každá x splňující bylo .

Když bychom předpokládali,  že na obrázku je zachycen graf funkce v jejím úplném rozsahu, potom by
ostré lokálné minimum bylo v tom bodě zcela vlevo (cca c = -0,8).

↑ miso16211:
Ten pojem minima funkce je obecně relativní, závisí totiž na množině (části definičního oboru),  vzhledem k níž se
touto otázkou zabýváme.

I.  Rčení  "m je minimum funkce f na množině M" znamená, že

1)  v každém bodě x množiny M  je f(x) >= m,

2)  existuje bod c množiny M takový , že  f(c) = m .

Pokud takový bod c množiny M existuje pouze jeden, říkáme, že jde o ostré minimum.


II.  Rčení  "m je lokální minimum funkce f na množině M" znamená, že existuje bod c množiny M a jeho okolí U v množině M
takové, že m  je minimum funkce f na množině U.


III. Pokud řekneme "m je minimum funkce f" resp. "m je lokální minimum funkce f" (v bou případech bez specifikace množiny M),
znamená to, že za množinu M z kroku I resp. II.  bereme celý definiční obor funkce f.

IV. Místo "m je minimum funkce f" (pokud tento výrok chápeme ve smyslu III) raději říkáme - v zájmu větší jasnosti -
"m je globální minimum funkce f" nebo  "m je absolutní minimum funkce f".

Jakým způsobem chápat v II.,  III., IV. význam případného přívlastku "ostré", je jistě zřejmé.


Terminogie zde může poněkud kolísat, je potřeba podívat se do učebních materiálů, jak tyto pojmy zavedl váš vyučující.

↑ OiBobik:
No to je velmi správná otázka dokládající, že pojem lokálního extrému je závislý na topologii (tj. systémů okolí bodů), kterou
v definičním oboru funkce f uvažujeme.  Na množině přirozených čísel je "přirozenou"  topologií takzvaná topologie diskretní,
kdy za okolí bodu m připouštíme i množinu {m}. Avšak i v množině reálných čísel lze uvažovat diskrerní topologii (i když běžně
tak nečiníme) a pak by pojem lokálního extrému funkce změnil svůj obsah, ale nejen to - změnil by svůj obsah i pojem limity a
spojitosti.

Ale abychom se vrátili "na zem":  U reálných funkcí reálné proměnné, jejichž extrémy studujeme, bychom mohli v definici lokálního
extrému připojit předpoklad, že množinou M je interval kladné délky (nebo aspoň sjednocení takových intervalů).  Jsem si vědom
toho, že s pojmem lokálního extrému jsou problémy, které jsi naznačil, a proto někteří autoři se mu raději vyhýbají. Mj. i z těchto
důvodů jsem tazateli doporučil, aby nahlédl do svých učebních materiálů.

↑ miso16211:
Já jsem si neuvědomil, že jsme v sekci Střední škola. :-)

V učebnici se o tom nic nepíše ?

Předpokládejme, že funkce f je definována na množině M (tedy množina M je částí definičního oboru D(f) funkce f).
Všechny hodnoty f(x) , kde x probíhá množinu M, tvoří množinu, kterou označíme f[M] a nazveme obrazem množiny M při funkci f.
Může se stát, že některé číslo m z množiny  f[M]  je menší než každé jiné číslo téže množiny. Potom (a pouze tehdy) říkáme, že

1)          číslo m je nejmenší prvek množiny f[M] ,

resp.

2)          číslo m je minimum funkce f na množině M.

Nechť m i nadále značí toto číslo (není těžké dokázat, že dvě taková pro tutéž funkci f a tutéž množinu M nemohou existovat).
Číslo m leží v  f[M], to znamená, že existuje prvek c  množiny M takový, že m = f(c).  Říkáme,  že minima na množině M
funkce f nabývá v bodě c  (nebo též: v c nastává minimum funkce f na množině M a pod.). 

Obecně funkce f nemusí na množině M nabývat svého minima v žádném bodě (například funkce f(x) := x na otevřeném intervalu),
v takových případech říkáme, že funkce f nemá na množině M minimum.   Nebo naopak může nabývat svého minima ve více než
jednom bodě  (například funkce sinus na množině všech reálných čísel  nabývá svého minima -1  v nekonečně mnoha bodech, 
jiným příkladem je konstantní funkce na množině mající aspoň 2 prvky).

Jestliže funkce f nabývá na množině M svého minima v právě jednom bodě, pak říkáme, že jde o ostré minimum (fce f na množině M).

Tak toto je první část,  kterou je nutno dobře pochopit. Teprve pak je možno otevřít otázku lokálního minima.


Viz též Odkaz , ale pozor, není to tam úplně správně:
místo "bod a je maximum" mělo být "v bodě a je (resp. nastává) maximum" a pod.