Matematické Fórum

pietro · 14. 04. 2011 16:13

Dobrý deň!
Mohli by ste prosím vyskladať na toto miesto Vaše skúsenosti s $\pi^2$ , kde všade ste ho videli alebo použili?

Mne sa objavilo tu..

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

a Wolfram tiež zabral...

http://mathworld.wolfram.com/PiSquared.html

Ďakujem.

OiBobik

↑ pietro:

Je to třeba součet řady $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n^2}$ : ))

Raduse73 · 15. 04. 2011 11:44

↑ pietro:

taky figuruje ve vzorci pro objem a povrch anuloidu viz http://sk.olejar.eu/heslo/anuloid/

Matej1117 · 15. 04. 2011 17:07

OiBobik napsal(a):
↑ pietro:

Je to třeba součet řady $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n^2}$ : ))

Da sa to vyjadrit pomocou limity???

pietro · 15. 04. 2011 17:19

3 x ďakujem Vám za záujem a príspevky...
pátrame ďalej... pekný predvečer víkendu!

FailED · 15. 04. 2011 17:20 — Editoval FailED (15. 04. 2011 17:21)

↑ Matej1117:

Ano, nekonečný součet $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ můžeme definovat jako limitu částečných součtů $\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k f(n)$ .

Matej1117 · 15. 04. 2011 17:23

Failed cize upravene pomocou limity to bude ako vyzerat ???

FailED · 15. 04. 2011 17:31

↑ Matej1117:

$\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k \frac{6}{n^2}$

Matej1117 · 15. 04. 2011 17:33

Staci dosadit za enko velmi vysoke cislo a je to?? 6/1.000.000 = 0,000006 .. to nie je pi na druhu ..

BakyX · 15. 04. 2011 17:36 — Editoval BakyX (15. 04. 2011 17:36)

↑ Matej1117:

TO nie je, ale súčet:

$\frac{6}{1^2}+\frac{6}{2^2}+...+\frac{6}{1000000^2}$

sa limitne približuje k číslo $\pi^2$

Matej1117

nevidim ziadny rozdiel medzi tym vyrazom s tou sumou a medzi tou limitou .. je tam nejaky?? zapis je iny ale aj tam aj tam spocitavame postupne cleny radu ..

BakyX · 15. 04. 2011 17:40

$\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k \frac{6}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n^2}$

Nie je ti jasná táto rovnosť ?

Matej1117 · 15. 04. 2011 17:48

je mi jasna .. ale myslel som ze postup ako (pri dosadzovani do tychto vztahov) dostaneme pi bude iny ale je rovnaky .. naco potom potrebujeme dva rozne zapisy na toiste??

Pavel Brožek · 15. 04. 2011 18:43

↑ Matej1117:

Nekonečná suma se obvykle definuje jako limita konečné sumy.

Postup výpočtu této sumy třeba zde.

byk7 · 15. 04. 2011 20:01

↑ pietro:

možná, že by se dalo vzít toto:

Mějme Riemannovu funkci zeta $\zeta(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x}$ ,

pro sudá čísla platí: $\zeta(2n)=$-1$^{n+1}\cdot\frac{B_{2n}$2\pi$^{2n}}{2$2n$!}=$\(-1$^{n+1}\frac{B_{2n}$2^{2n-1}$$\pi^{2n-2}$}{$2n$!}\)\cdot\color{blue}\pi^2$

kde $B_k$ je k-té Bernoulliho číslo

Pavel Brožek

↑ pietro:

Počítal jsem teď obsah čtverce o straně $\pi$ , vyšlo mi $\pi^2$ .

$S&=\int_{\text{čtverec}}1\,\mathrm{d}S=\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}1\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\\ &=\int_0^{\pi}[y]_0^\pi\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi}(\pi-0)\,\mathrm{d}x=\\ &=\int_0^{\pi}\pi\,\mathrm{d}x=\pi\int_0^{\pi}1\,\mathrm{d}x=\\ &=\pi[x]_0^\pi=\pi(\pi-0)=\pi^2$

:-)

Jinak vyšší mocniny $\pi$ se vyskytují např. u objemu a povrchu hyperkoule.

pietro · 16. 04. 2011 07:40

↑ Pavel Brožek:
ale ano, mas pravdu.
Nasiel som v Tvojom postupe aj obraz -mojho" ...dakujem
:-)

pietro · 16. 04. 2011 07:59

No nemozme opomenut vyskyt Pi^2 ani v najrozsiahlejsom statistickom zakone vo vesmire
v Planckovom zakone
http://cs.wikipedia.org/wiki/Planck%C5% … z%C3%A1kon

Pavel Brožek · 16. 04. 2011 09:41

↑ pietro:

Snad se nepletu, ale zrovna přítomnost $\pi^2$ v Planckově zákoně bych nepovažoval za zajímavou – objevilo se tam díky tomu, jak jsme si definovali konstanty $\hbar$ a $c$ . Stačí zákon přepsat tak, aby tam místo redukované Planckovy konstanty vystupovala Planckova konstanta $h=2\pi\hbar$ a už tam je jiná mocnina $\pi$ :

$dI = \frac{h}{2\pi^3 c^2} \ \frac{\omega^3}{e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1}\ d\omega$

Podobně bychom ve vztahu mohli použít jinou úplně vymyšlenou konstantu $\spadesuit=\frac{\hbar}{\pi^2}$ . Najednou tam nebude žádné $\pi$ :

$dI = \frac{\spadesuit}{c^2} \ \frac{\omega^3}{e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1}\ d\omega$

Matej1117 · 16. 04. 2011 11:03

BakyX mam pocit ze 6/n^2 sa limitne blizi k pi^2 velmi pomaly.. Je to skutocne tak alebo sa mylim? Ak ano, je to trosku mala nevyhoda ..

Pavel Brožek · 16. 04. 2011 11:29

↑ Matej1117:

6/n^2 sa limitne blizi k pi^2 velmi pomaly

$\frac6{n^2}$ se k $\pi^2$ neblíží, blíží se k nule. $\sum_{k=1}^{n}\frac6{k^2}$ se blíží k $\pi^2$ . A ano, suma nekonverguje příliš rychle:

(Na vodorovné ose je vyneseno n, na svislé rozdíl $\left|\pi^2-\sum_{k=1}^{n}\frac6{k^2}\right|$ )

Často není podstatné, jak rychle suma konverguje, ale že konverguje. Na výpočet hodnoty $\pi$ se tato suma kvůli pomalé konvergenci příliš nehodí.

Matej1117 · 16. 04. 2011 11:53

Pavel nechytaj ma za slovicka, mal som namysli tu sumu ale tak neviem pisat v tom programe v ktorom to pisete vy tak co som mal napisat E 6/n^2 ??

teolog · 16. 04. 2011 11:59

↑ Matej1117:
Mně se zdá, že Vám splývají dvě různé věci dohromady.
Jedna věc je limita členů, ta jde k nule (vuz Pavlův graf). Ale druhá věc je limita částečncý součtů. A limita tohoto součtu je oněch pí^2.

Pavel Brožek · 16. 04. 2011 12:10

↑ Matej1117:

Pokud ti to bylo jasné, pak se omlouvám, nemyslel jsem to zle. Ale v matematice je dobré se vyjadřovat co nejpřesněji – mohl jsi třeba napsat „suma 6/k^2, kde k jde od jedné do n“ nebo alespoň „suma 6/n^2“. Tvé tvrzení, které jsem citoval, je prostě špatně.

↑ teolog:

Na grafu nejsou vyneseny členy posloupnosti 6/n^2, ale rozdíl přesného nekonečného součtu a částečného součtu. Píšu o tom pod grafem.

Matej1117

nj to nevadi, male nedorozumenie.. inac ten kto nato prisiel ze sa pi na druhu rovna tejto sume bol podla mna riadny frajer .. koho by to napadlo, mna teda nie :) a este aj fakt, ze tato suma konverguje pomaly moze trosku zmiast... ja som spocital 20 prvych clenov cize: 6/1 + 6/4 + 6/9 + 6/16 + ... a rozdiel medzi sumou a pi na druhu bol priblizne 0,25 - to je dost velky rozdiel si myslim a ked som spocital 50 clenov, stale sa to bohvieako nechcelo rovnat, takze cloveka to pomily, keby som nepoznal tento vztah a niekto by sa ma opytal ci sa pi na druhu rovna "sume 6/n^2 " tak by som spocital par prvych clenov tejto sumy a potom by som povedal ze sa to rovna iba priblizne ..

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2011 16:13

Pi Squared

#2 14. 04. 2011 22:40 — Editoval OiBobik (14. 04. 2011 22:40)

Re: Pi Squared

#3 15. 04. 2011 11:44

Re: Pi Squared

#4 15. 04. 2011 17:07

Re: Pi Squared

OiBobik napsal(a):

#5 15. 04. 2011 17:19

Re: Pi Squared

#6 15. 04. 2011 17:20 — Editoval FailED (15. 04. 2011 17:21)

Re: Pi Squared

#7 15. 04. 2011 17:23

Re: Pi Squared

#8 15. 04. 2011 17:31

Re: Pi Squared

#9 15. 04. 2011 17:33

Re: Pi Squared

#10 15. 04. 2011 17:36 — Editoval BakyX (15. 04. 2011 17:36)

Re: Pi Squared

#11 15. 04. 2011 17:38 — Editoval Matej1117 (15. 04. 2011 17:39)

Re: Pi Squared

#12 15. 04. 2011 17:40

Re: Pi Squared

#13 15. 04. 2011 17:48

Re: Pi Squared

#14 15. 04. 2011 18:43

Re: Pi Squared

#15 15. 04. 2011 20:01

Re: Pi Squared

#16 15. 04. 2011 20:07 — Editoval Pavel Brožek (15. 04. 2011 23:01)

Re: Pi Squared

#17 16. 04. 2011 07:40

Re: Pi Squared

#18 16. 04. 2011 07:59

Re: Pi Squared

#19 16. 04. 2011 09:41

Re: Pi Squared

#20 16. 04. 2011 11:03

Re: Pi Squared

#21 16. 04. 2011 11:29

Re: Pi Squared

#22 16. 04. 2011 11:53

Re: Pi Squared

#23 16. 04. 2011 11:59

Re: Pi Squared

#24 16. 04. 2011 12:10

Re: Pi Squared

#25 16. 04. 2011 13:52 — Editoval Matej1117 (16. 04. 2011 13:57)

Re: Pi Squared

Zápatí