Matematické Fórum

byk7 · 17. 04. 2011 20:27

jjeerryy napsal(a):
5) Trojúhelník KLM je dán body K[5,5;-2,5], L[ -3;5], M[-3;2,5].
Určete je-li trojúhelník pravoúhlý. Určete souřadnice bodu N tak, aby čtyřúhelník
KLMN byl rovnoběžník. Vypočtěte jeho obsah a obvod. Vypočtěte úhel, který
svírají jeho úhlopříčky.

Přesměrováno odtud.

Dana1 · 17. 04. 2011 21:48

↑ byk7:

Zo súradníc bodov sa dajú vytvoriť smerové vektory priamok, na ktorých ležia strany trojuholníka (K-L, K-M, L-M). Ak skalárny súčin dvoch vektorov je

0, vektory sú navzájom kolmé a trojuholník pravouhlý.

zdenek1 · 17. 04. 2011 22:12

$\vec{KL}=(-8,5;7,5)$
$\vec{KM}=(-8,5;5)$
$\vec{LM}=(0;-2,5)$
$\vec{KL}\cdot \vec{KM}=8,5^2+5\cdot7,5\neq0$
$\vec{KL}\cdot \vec{LM}=-2,5\cdot7,5\neq0$
$\vec{KM}\cdot\vec{LM}=-2,5\cdot5\neq0$

Ani u jednoho úhlu není pravý úhel.

Pro bod $N[x,y]$ musí platit $\vec{KL}=\vec{NM}$
$(-8,5;7,5)=(-3-x;2,5-y)\ \Rightarrow\ x=5,5\ y=-5$
$N[5,5;-5]$

úhlopříčky jsou $KM$ a $LN$
$\vec{NL}=(-8,5;10)$
$\cos\varphi=\frac{8,5^2+50}{\sqrt{8,5^2+25}\cdot\sqrt{8,5^2+100}}$

číselně vychází $\varphi=19,17^o$

Cheop · 18. 04. 2011 13:08 — Editoval Cheop (18. 04. 2011 13:08)

Obvod:
$2(|KN|+|KL|)$

Cheop · 19. 04. 2011 09:56 — Editoval Cheop (19. 04. 2011 11:12)

Obsah rovnoběžníku
bude dle obrázku:

$S=|LM|\cdot |MN|\cdot\sin\,\alpha$ (je to obsah 2 stejných trojúhelníků)
$\vec{LM}=(0;\,2,5)\\|LM|=2,5$
$\vec{MN}=(8,5;\,-7,5)\\|MN|=\sqrt{8,5^2+7,5^2}=\frac{\sqrt{514}}{2}$
$\cos\,\alpha=\frac{2,5\cdot(-7,5)}{2,5\cdot\frac{\sqrt{514}}{2}}\\\cos\,\alpha=-\frac{15}{\sqrt{514}}$
$\sin\,\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\\\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{225}{514}}\\\sin\,\alpha=\frac{17}{\sqrt{514}}$
$S=2,5\cdot\frac{\sqrt{514}}{2}\cdot\frac{17}{\sqrt{514}}\\S=\frac{5\cdot 17}{4}=\frac{85}{4}=21,25$
Obvod:
$o=2(|LM|+|MN|)$
$o=2\left(\frac 52+\frac{\sqrt{514}}{2}\right)\\o=5+\sqrt{514}\,=\,27,67$