Matematické Fórum

ajucha · 20. 04. 2011 18:07

mám řadu: suma 1/(n^(lnn)) a mám určit jestli řada konverguje nebo diverguje. Mě vyšlo, že diverguje,ale má absolutně konvergovat. Poradil by jstemi někdo?
můj postup: Pomocí podílového kritéria lim(a_(n+1)/a_n)-> tato limita mi vyšla 1 a z toho plyně,že diverguje...

OiBobik

↑ ajucha:

Poradil bych limitní srovnávací kritérium (srovnat např. s $\frac{1}{n^2}$ - což je konvergentní řada)

Pozn: Samotná limita 1 u podílového kritéria nerozhoduje o konvergenci - ty podíly se můžou blížit k jedné, ale jedné nikdy nenabudou (vždy budou o něco menší).

ajucha · 20. 04. 2011 18:29

↑ OiBobik:
zkoušela sem to taky srovnávacím kritériem, ale srovnávala jsem to s b_n=1/n^(lnn) vlastně s tím samým,co je zadané....jak mám poznat,s čím to mám srovnávat??

OiBobik

↑ ajucha:

Nejlépe s něčím, u čeho konvergenci/divergenci znáš. : ))
S tím samým to nemá nikdy smysl - to ti vždy vyjde limita 1 a z toho nic moc nevidíš, jenom, že řada konverguje právě tehdy, když řada konverguje. : ))

Tady na to lze přijít třeba tak, že je známo, že $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$ konverguje pro $\alpha>1$ , tedy i pro nějaký konstantní exponent, u kterého chceme jen to, že je větší než 1. No a když takový konstantní exponent nahradíme exponentem, který roste (ln n je rostoucí pro rostoucí n), pak to "půjde k nule určitě rychleji", než kdyby byl konstantní - z čehož člověk rovnou "bez výpočtu" uhodne, že řada je konvergentní, a rovnou vidí, jak to dokazovat.
Toto je samozřejmě jen taková přibližná návodná představa, ale je to způsob, jak člověka napadne, že to má srovnat s něčím takovým.

ajucha · 20. 04. 2011 18:45

↑ OiBobik:
děkuju moc :)
a když mám řadu: suma ((ln(2^n+n))/(n-n^3)) tak přes srovnávací kritérium sem to nedělala, protože je to záporná posloupnost.
Tak jsem to dělala přes podílové kritérium lim a_(n+1)/a_n , tato limita mi vyšla 0 a podle pravidla, že tato limita je <1 plyne, že to konverguje. Sla jsem na to správně?:)

OiBobik

↑ ajucha:

Jojo, výsledek je nejpravděpodobněji správně, takže to asi budeš mít i správně celé (jestli se ti náhodou nepoštěstil onen nevzácný jev, totiž dojít ke správnému výsledku špatným postupem : )) ).

EDIT: To podílové ti určitě nemohlo vyjít 0, to máš asi špatný postup, ta limita vychází 1, viz třeba i odkaz.

Pozn. na okraj: Teoreticky bys to mohla dělat i přes to srovnávací kritérium, pokud je to od nějakého n dál všechno záporné - stačí zkrátka vyšetřovat absolutní konvergenci, a pokud je to od určitého n všechno záporné, pak řada konverguje právě tehdy, když konverguje absolutně.

Tady bych tedy radil postup: zase to srovnat, s $\frac{\ln(e^n)}{n^3}$ , to vyjde nějaká vlastní nenulová limita, no a pak si stačí jen uvědomit:

$\frac{\ln(e^n)}{n^3}=\frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}$ a to konverguje.

ajucha · 20. 04. 2011 19:50

↑ OiBobik:
uz mi to vycházi :)
Děkuju moc :)

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2011 18:07

konvergence - divergence řady

#2 20. 04. 2011 18:16 — Editoval OiBobik (20. 04. 2011 18:21)

Re: konvergence - divergence řady

#3 20. 04. 2011 18:29

Re: konvergence - divergence řady

#4 20. 04. 2011 18:37 — Editoval OiBobik (20. 04. 2011 18:39)

Re: konvergence - divergence řady

#5 20. 04. 2011 18:45

Re: konvergence - divergence řady

#6 20. 04. 2011 18:57 — Editoval OiBobik (20. 04. 2011 19:25)

Re: konvergence - divergence řady

#7 20. 04. 2011 19:50

Re: konvergence - divergence řady

Zápatí