Matematické Fórum

nordec · 06. 04. 2011 22:14

Zdravím, potřeboval bych poradit.

Máme danou teorii následníka s nulou $SC_0$ :
Jazyk: <S,0>, S je unární funkční symbol, 0 je konstantní symbol.
Axiomy: (Q1) $0 \neq Sx$
(Q2) $Sx = Sy \rightarrow x = y$
(Q7) $x \neq 0 \rightarrow (\exists y)(Sy = x)$
SC-schema: $x \neq S^nx$ ; n > 0 je přirozené.
Pro n přirozené je n-tý numerál $\frac{n}{}$ konstantní term S...S0, S aplikováno n-krát; $\frac{0}{}$ je 0.

A s následujícím si nějak vůbec nevím rady:
1. Nechť T je extenze teorie následníka s nulou $SC_0$ o nový konstantní symbol c.
a) Dokažte či vyvraťte, že T je kompletní.
b) Nalezněte všechny jednoduché kompletní extenze T.
c) Určete izomorfní spektrum T.
d) Zjistěte, zda T je ekvivalentní otevřené teorii.
e) Zjistěte, zda T je ekvivalentní konečně axiomatizovatelné teorii.

2. Zvolte si jednu jednoduchou kompletní extenzi T' teorie T z předchozího příkladu.
a) Nalezněte algebraický prvomodel teorie T'; případně dokažte, že neexistuje.
b) Zjistěte, zda T' je modelově kompletní.

Wotton · 25. 04. 2011 10:22

↑ nordec:

Jak moc na to pospícháš? Kouknul bych se na to, ale ale asi se k tomu nedostanu dřív než ve čtvrtek:-(

nordec · 25. 04. 2011 15:14 — Editoval nordec (25. 04. 2011 15:15)

↑ Wotton:

Tak moc to nespěchá. Jsem rád, že se našel někdo, kdo tomu rozumí, protože v mém okolí si s tím nikdo neuměl poradit.

Wotton · 26. 04. 2011 08:39

a ještě než se do toho pořádně pustím, tak tady jsme řešili něco podobnýho. Můžeš se na to zatím podívat:-)

Wotton · 01. 05. 2011 18:49

Tak konečně se na to vrhnu:-) Většina věcí je podobná jako na tom odkazu co jsem posílal v předchozím příspěvku...

1.
a) teorie T není kompletní. Není dokazatelná ani vyvratitelná například formule $0=c$ (protože $c$ může být zvoleno libovolně)

b) zkompletnit tuto teorii jde nejednodušeji tak že se přidá jeden axiom $\underline{n}=c$ pro některé n. Tím jsem vytvořil spočetně mnoho různých zůplnění.
Dále se dá zůplnit přidáním schématu $c \neq \underline{n}$ pro n přirozené.
Poslední jednoduché zůplnění (ale takové, které ti asi nebude uznáno) je přidáním $0 = Sc$ . Takto rozšířená teorie je sporná, takže úplná:-)

c) izomorfní spektrum je
$I(\kappa ,T)=\omega$ pro kapa nekonečné a
$I(\kappa ,T)=0$ pro kapa konečné.
Zdůvodní se to takto: pro kapa konečné, modely neexistujou.
Pro kapa spočetné jsou modely následující:
jedna možina N (přirozená čísla) a nejvýše spočetně mnoho množin Z (celá čísla). Zatím nebudu uvažovat konstantu c. Takových modelů je $\omega$ . Nyní budu uvažovat konstantu c. Ta může být buď v množině N a nebo v některé množině Z. V množině N může nabývat jedné z $\omega$ hodnot. Pokud je v některé množině Z, tak nejde nijak rozlišit jaké hodnoty nabývá (nemáme uspořádání), takže je jen jedna možnost. Tudíž všech modelů je $(\omega +1)\cdot\omega = \omega$
Pro kapa nespočetné je bez uvažování konstanty c jen jedna možnost. Jedna množina N a kapa množin Z. No a podobně jako v předchozím případě lze uvažovat jakou hodnotu může nabývat konstanta c. Stejnou úvahou zjistíme, že modelů je $\omega +1 = \omega$ .

d) to je stejný problém jako u kolegyně. Pořád se mi nepovedlo najít co znamená otevřená teorie, pokus se zapátrat v poznámkách, případně doplním

e) T není konečně axiomatizovatelná.
Důkaz: Uvažujme konečně axiomatizovanou teorii TFin (ekvivalentní). Přidáním axiomu $0=c$ získáme opět konečně axiomatizovanou teorii TFin0. Pokud této teorii nyní ochudíme jazyk o konstantu c, a ve všech axiomech ji nahradíme konstatnou 0 získali jsme opět konečně axiomatizovanou teorii TFin0-. Tato teorie je ale ekvivalentní teorii $SC_0$ která není konečně axiomatizovatelná. Což je spor.

2. zvolím si rozšíření o axiom $0=c$
takto rozšířená teorie je (v podstatě) ekvivalentí teorii $SC_0$ . A stejně jako ona má algebraický prvomodel a je modelově kompletní
a) algebraickým prvomodelem je model <N,S,0,c>

b) mně nenapadá jako to ještě zdůvodnit

nordec · 02. 05. 2011 14:33

↑ Wotton:

Moc děkuji. Teď, když vidím, jak se řeší konkrétní příklad i s mně srozumitelnými vysvětleními, je i ta teorie okolo zase o trochu jasnější.

K 1d) jsem našel toto: otevřená teorie je taková teorie, jejíž všechny axiomy jsou otevřené formule.

Wotton · 07. 05. 2011 15:28

Tak k 1d)

konečně jsem si našel čas a vlez do literatury (bohužel jsem musel, sice po tom co píšeš jsem si už vzpomněl, že jsem to někdy viděl, ale už si to pořádně nepamatuju).
Mělo by to být takhle.

Teorie $SC_0$ je ekvivalentní otevřené teorii. To znamená, že všechny její axiomy jsou ekvivalentní nějaké otevřené formuli (dokonce otevřené sentenci). V teorii rozšířené o konstantní symbol c jsme však nepřidali žádný axiom (pouze rozšířili jazyk), tudíž i nově vzniklá teorie je ekvivalentní otevřené teorii.

Aspoň už budu vědět co to znamená až se to tu objeví příště:-)

nordec · 15. 05. 2011 22:30

↑ Wotton:

Ještě jednou mockrát děkuji. Velmi si cením tvých znalostí a ochoty pomoci s takovýmhle příkladem.

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2011 22:14

Extenze teorie následníka s nulou o konstantní symbol

#2 25. 04. 2011 10:22

Re: Extenze teorie následníka s nulou o konstantní symbol

#3 25. 04. 2011 15:14 — Editoval nordec (25. 04. 2011 15:15)

Re: Extenze teorie následníka s nulou o konstantní symbol

#4 26. 04. 2011 08:39

Re: Extenze teorie následníka s nulou o konstantní symbol

#5 01. 05. 2011 18:49

Re: Extenze teorie následníka s nulou o konstantní symbol

#6 02. 05. 2011 14:33

Re: Extenze teorie následníka s nulou o konstantní symbol

#7 07. 05. 2011 15:28

Re: Extenze teorie následníka s nulou o konstantní symbol

#8 15. 05. 2011 22:30

Re: Extenze teorie následníka s nulou o konstantní symbol

Zápatí