Matematické Fórum

Slabsí matematik · 18. 05. 2008 16:08

Do rotacniho kuzele o polomeru podstavy R a výsce h vepiste rotacní válec, který má
nejvetsi obsah pláste (bez podstav).

Vim ze objem rotacniho kuzele je V= 1/3*pi*r^2*h
a obsah plaste rotacniho valce bez podstav , myslim: S=2*pi*r*h

ale jak ted na to kdyz nemam zadan ani obsah plaste ani objem, alespon jedno cislo. Mozna bych mohla vyjadrit h z jedne rovnice a dosadit do druhe, ale nevim...

dekuji za radu

Olin · 18. 05. 2008 19:10

Ta úloha je analogická k vepisování obdélníku do rovnoramenného trojúhelníka. Náčrt:

Obsah pláště je $2 \pi r v$ , ovšem díky vepsání do kužele je dán pevný vztah mezi r a v, a to $v = h - \frac{h}{R}r$ . Toto dosadíme do předchozího vzorce, tedy $S = 2 \pi h r \left (1 - \frac rR \right )$ . Zderivujeme podle r a maximum nalezneme položením derivace rovné nule.

Slabsí matematik · 21. 05. 2008 23:13

Ahoj Oline,
prosim te chtela bych se zeptat. Pokud zderivuji rovnici kterou uvadis podle r (zkousela jsem to,ale nevim, zda to delam spravne), zustane mi tam vice ruznych promenych, kdyz potom zderivovanou rovnici polozim nule, jak zjistim to maximum? Kdyz se me ptaji na rotacní válec, který má nejvetsi obsah pláste (bez podstav) co vlastne ode me chteji za udaj(vysledek)? rozmery toho valce, nebo hodnotu obsahu? nejak se v tom ztracim:-(
dekuji za pomoc

Slabsí matematik · 01. 06. 2008 20:39

Ahoj muze mi prosim nekdo poradit.
Zderivovala jsem S=2pihr((1- (r/R)) tak jak uvedl Olin podle maleho r a vyslo mi toto: 2pih-(4pihr/R)=0 ale co ted mam presne hledat, jakou promenou osamostatnit? h?
pokud ano pote mi vyjde: 2pi*(hR-2hr)=0 vydelim celou rovnici 2pi
hR-2hr = 0
h*(R-2r)=0 kdyz ted vydelim h tak o nej prijdu, jaky je tedy prosim postup a k cemu mam vlastne dojit, co ma byt vlastne odpovedi na otazku ( Do rotacniho kuzele o polomeru podstavy R a výsce h vepiste rotacní válec, který má nejvetsi obsah pláste (bez podstav)?

diky moc za pomoc

plisna · 01. 06. 2008 20:46 — Editoval plisna (01. 06. 2008 20:46)

mame rovnici $2\pi h - 4\pi h \frac{r}{R}= 0$ a z teto rovnice musime vyjadrit MALE r, vzdyt jsme podle nej diferencovali. zkus to upravit a vypocitat, vyjde to hezky. kdyztak se ozvi.

Slabsí matematik · 01. 06. 2008 20:54

ahoj, tak pokud muzu pokracovat v me rovnici, tak tedy: h*(R-2r)=0 vydelim h
R=2r
R/2 = r a to je tedy vse? nebo musim jeste nekam dosadit a neco pocitat a odpovet na otazku? diky

plisna · 01. 06. 2008 20:58

teoreticky by se melo overit, jestli pro r = R/2 nastava maximum, ale v tomto pripade je zrejme, ze tomu tak skutecne je. takze jeste dopocitat vysku vepisovaneho valce z rovnice $v = h - \frac{h}{R}r$ a dat dohromady slovni odpoved.

Slabsí matematik · 01. 06. 2008 21:06

takze tedy ted dosadim za male r =R/2
mam tedy v= h-h/R * (R/2)
v = h/2

jak bych to jeste mela overit to maximum? a nejsem si jista co presne chteji slyset v odpovedi....

plisna · 01. 06. 2008 21:14

v odpovedi chteji nejspise slyset parametry vepisovaneho valce, takze polomer a vysku v zavislosti na polomeru a vysce kuzele. maximum by se overilo pomoci znamenka druhe derivace, ale tady to neni treba, je zrejme, ze je to maximum, minimum by bylo pro r = 0.

Slabsí matematik · 01. 06. 2008 21:31

ok dekuji moc za tvoji radu a pomoc

clandestino

Mám podobný problém. Ve válci mám rotační kužel, podstavu mají společnou, vrchol kužele je ve středu horní podstavy válce. Mám zadaný povrch válce a = 7,2 a povrch kužele b = 4,9. Z toho mám zjistit úhel, který svírá osa kužele s jeho povrchem. Zaboha ale nemůžu nějak rozumně vyjádřit r...

jelena · 30. 08. 2010 18:34

↑ clandestino:

Zdravím,

myslím, že problém máš jiný - válec a kužel maji společnou podstavu (stejné R) a společnou výšku (v).

Výška se dá vyjádřit přes R a poloviční úhel u vrcholu (v trojuhelníku - řezu kuželu). Také se dá vyjádřit "boční strana" kuželu = poloměr rozbalené kruhové výseče).

K řešení bude soustava 2 rovnic 2 neznamé (poloměr R a úhel v řezu kuželu).

To je jen nástin - založ si prosím samostatné téma, toto téma je vyřešené. Děkuji.