Matematické Fórum

pokus123 · 29. 04. 2011 08:23

Dobrý den, dostal jsem za úkol vyřešit průběh funkce $\frac{x^3}{3-x^2}$ Zaseknul jsem se na výpočtu limit spojitosti funkce. Vypočítal jsem si limitu v plus a míus nekonečnu a teď chci vypočítat limitu v bodech nespojitosti finkce tj. $-\sqrt3$ a $\sqrt3$ Přišel jsem na to že se to počítá přes jednostrané limity. Ale já nějak nevím jak na to. Mohli by jste mi podarit? Díky

halogan · 29. 04. 2011 08:33

Tak čitatel bude na okolí docela daleko od nuly, tam nás bude zajímat jen znaménko. Jmenovatel je zajímavější.

V zásadě ti mohu nabídnout tři postupy, ani jeden není příliš rigorózní. Jedno mají společné: limita jmenovatele je určitě nula, takže jednostranná limita zlomku bude vždy + nebo - nekonečno. Teď jak zjistit, které z toho:

1) Když zkoumáš hodnoty $3-x^2$ na okolí $\sqrt 3$ , tak vidíš, že pro hodnoty větší než $\sqrt 3$ (jdeš tedy zprava) se dostáváš do mínusu a ve jmenovateli vytváříš nekonečně malé záporné hodnoty. Navíc čitatel bude kladný, takže limita zde bude minus nekonečno. Analogicky můžeš postupovat pro limitu zleva.

2) Můžeš si nakreslit parabolu $f(x) = 3 - x^2$ a ty hodnoty tam uvidíš hned.

3) Můžeš si to rozložit podle vzorce $a^2 - b^2$ a stačí si pak nakreslit jen graf lineární funkce.

Pomohlo?

pokus123

↑ halogan: MOžná pomohlo vypočítal jsem toto: $\lim_{x\to \sqrt3+} = \frac{x^3}{3-x^2} = -\infty$ $\lim_{x\to \sqrt3-} = \frac{x^3}{3-x^2} = \infty$ $\lim_{x\to -\sqrt3+} = \frac{x^3}{3-x^2} = -\infty$ $\lim_{x\to -\sqrt3-} = \frac{x^3}{3-x^2} = \infty$

Limity v krajních bodech definičního oboru jsem počítal pomocí Lhospitalova pravidal to by mohlo být ne?? Ještě jsem se chtěl zeptat, pokud je to správně tak jak to mám zapsat do toho projektu?? Mám to tam napsat pčesně tak jak je to mám tady, nebo se to dá ještě nějak upravit?? Díky

Honzc · 29. 04. 2011 09:36

↑ pokus123:
Ty první dvě limity máš přesně naopak.

pokus123 · 29. 04. 2011 09:41

↑ Honzc: Díky zmršil jsem to při přepisování na forum už je to opraveno

halogan · 29. 04. 2011 09:55

↑ pokus123:

L'Hospitalovým pravidlem? Kolik vyšlo?

Jde to pouhým pohledem, případně zjednodušením

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{3-x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{-x^2} = \lim_{x \to \infty} -x$

pokus123 · 29. 04. 2011 10:35

↑ halogan: Lhospitalovám pravidel m vyšlo $\lim_{x\to\infty}= \frac{x^3}{3-x^2} =L`H\lim_{x\to\infty}= \frac{3x^2}{-2x}=L`H\lim_{x\to\infty}= \frac{6x}{-2}= -3x = -\infty$ Obdobně pro mínus nekonečno

pokus123 · 29. 04. 2011 10:52

↑ halogan:To my vysvětli kde v tom druhém zlomku se to ztratla ta trojka a dále pak když máš X/-X to je plus nekonečno děleno mínus nekonečnem a mám takocý pocit že to tak nějak není definováno

halogan · 29. 04. 2011 10:58

↑ pokus123:

Ono to není

$\frac{\lim_{x \to \infty} x^3}{\lim_{x \to \infty} - x^2}$ ,

ale jen $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{-x^2}$ , takže nedělím žádná nekonečna, jen proměnné x. Tolik k druhému dotazu.

K tomu prvnímu: Když jdeme s x to nekonečna, ta trojka tam hraje stále menší a menší roli. Přeci jen rozdíl mezi 1000^3/(3-1000^2) a - 1000 není tak velký.

Proto jsem i říkal, že není potřeba L'Hospitalovo pravidlo (ani dle mého není vítáno, protože je nutné zkontrolovat, že naše limita vyhovuje jeho podmínkám!), protože naše funkce je "zhruba" -x.

pokus123 · 29. 04. 2011 11:04

↑ halogan: Máš pravdu tam je vlastně x^2 a to je vždy kladné

pokus123 · 29. 04. 2011 13:26

Ještě mám dotaz jak u této funkce vypočítám asymptoty funkce??? Díky

halogan · 29. 04. 2011 13:41

Snadno :-)

Bez směrnice by problém být neměl, se směrnicí to bude krušnější, ne však o moc.

byk7 · 01. 05. 2011 13:42

↑ halogan: a kam se tedy ztratila ta trojka?
děkuji

halogan · 01. 05. 2011 13:45

↑ byk7:

Intuitivně: Ta trojka tam nemá skoro žádný vliv, zvlášť pro velká x.

Matematicky: Rozšiř to výrazem x^2/x^2 a rozděl na součin dvou limit. Zbyde tam to moje a jedna limita, která vyjde 1.

OiBobik · 01. 05. 2011 14:18

↑ byk7:

formálně vzato vytkneš x^2 ve jmenovateli, z trojky ti zbude 3/x^2, pak vykrátíš x^2, pak použiješ tu aritmetiku limit, výraz nahoře je x a ten má limitu nekonečno, výraz dole je -1+(3/x^2) a to má limitu -1

pokus123 · 01. 05. 2011 14:52

↑ OiBobik:↑ OiBobik:↑ OiBobik: Tak jsou ty výše uvedené limity dobře nebo ne??

OiBobik · 01. 05. 2011 15:24

↑ pokus123:

Jsou, vždyť i ten tvůj L'Hospital je správný postup, já jen odpovídal ↑ byk7: na jeho dotaz, jak formálně správně to odvodit bez L'Hospitala, tedy
$\lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{3-x^2}=\lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{x^2(\frac{3}{x^2}-1)}=\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\frac{3}{x^2}-1}=\text{(věta o ar. limit)}=\frac{\lim_{x \to \infty}x}{\lim_{x \to \infty}(\frac{3}{x^2}-1)}=\frac{\infty}{-1}=-\infty$

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2011 08:23

Linita ošklivé funkce

#2 29. 04. 2011 08:33

Re: Linita ošklivé funkce

#3 29. 04. 2011 09:06 — Editoval pokus123 (29. 04. 2011 09:41)

Re: Linita ošklivé funkce

#4 29. 04. 2011 09:36

Re: Linita ošklivé funkce

#5 29. 04. 2011 09:41

Re: Linita ošklivé funkce

#6 29. 04. 2011 09:55

Re: Linita ošklivé funkce

#7 29. 04. 2011 10:35

Re: Linita ošklivé funkce

#8 29. 04. 2011 10:52

Re: Linita ošklivé funkce

#9 29. 04. 2011 10:58

Re: Linita ošklivé funkce

#10 29. 04. 2011 11:04

Re: Linita ošklivé funkce

#11 29. 04. 2011 13:26

Re: Linita ošklivé funkce

#12 29. 04. 2011 13:41

Re: Linita ošklivé funkce

#13 01. 05. 2011 13:42

Re: Linita ošklivé funkce

#14 01. 05. 2011 13:45

Re: Linita ošklivé funkce

#15 01. 05. 2011 14:18

Re: Linita ošklivé funkce

#16 01. 05. 2011 14:52

Re: Linita ošklivé funkce

#17 01. 05. 2011 15:24

Re: Linita ošklivé funkce

Zápatí