Matematické Fórum

Dostatečně by mělo pomoct to, co jsem ukazoval tady.

↑ lerner: Struktury vlevo jsou docela jednoduché. Stačí promyslet, kolik máme možností, kam poslat jejich generátory.

↑ lerner:
↑ musixx:

Dobrý den,
pojďmež to dořešit. Ano, četl jsem ten dlouhý (a v pravdě dobrý a kvalitní) příspěvek od uživatele jménem musixx. Přiznám se, že mi to nepomohlo a myslím, že to ani nebyla přesně odpověď na to, co hledám. Jde jen o to zjistit počet homomorfismů.

Ten první, nazván beta, má 10 homomorfismů, ten druhý 1. gcd(15,16)=1
Tohle s tím největším společným dělitelem ale nejde použít u té alfy. Jak se na to tedy přijde. Nevím vůbec, proč to je deset. Šťastně to vyšlo, že 2*5=10 a gcd(10,10)=10.

Napadlo mě tu levou stranu převést na něco izomorfního, ale né vždy to vychází.
Z4*Z4->Z8 má šestnáct homomorfismů, proč?
Z4*Z4->Z10 ...myslel jsem, že pět, ale nic.
Snažil jsem se to nějak jistit tím počtem prvků, ale...k ničemuž jsem nedošel.
Děkuji za pomoc,
kolejo

↑ kolejo:

Ahoj, v tomto pripade staci jen nahlednout, ze .

A jinak: je to tak, kdyz u urcovani poctu homomorfismu prejdes k isomorfni grupe, nic se nepokazi. Takze to musi "vychazet vzdy".

(Koukam, zes tu ozivil stara temata - v tom pripade pozadej o oznaceni za vyresene spravce.)

↑ kolejo:

Tady uz je to malicko slozitejsi.
Grupa ZnxZm neni cyklicka - na jeji nagenerovani je tedy potreba alespon dvou prvku, pricemz zde jde videt, ze dva prvky ((1,0) a (0,1)) uz staci. Navic tyhlety generatory jsou nezavisle v tom smyslu, ze kazdy prvek napises jednoznacne jako soucet prvku z podgrupy generovane (1,0) a prvku z podgrupy generovane (0,1).

Stejnymi argumenty, jako v druhem prikladu, ktery jsi ozivil, dostaneme, ze pocet moznych obrazu prvku (1,0) grupy ZnxZm v grupe Zk je prave nsd(n,k) a ze pocet moznych obrazu prvku (0,1) je nsd(m,k).

Ted co je potreba nahlednout: kazde prirazeni jedne z tech "dobrych hodnot" prvku (1,0) a kazde prirazeni "dobre hodnoty" prvku (0,1) uz urcuje prave jeden homomorfismus
(Pokud prvku (1,0) priradim x a prvku (0,1) priradim y, pak vysledne rozsireni na homomorfismus je zobrazeni, ktere prvku (a,b) priradi a*x+b*y )

Nyni uz jde nahlednout, ze pocet homomorfismu Z4xZ4->Z8 je nsd(4,8)*nsd(4,8)=16.

Kdybys mel zajem o dalsi cviceni:

0) zobecnit pro soucin konecne mnoha cyklickych grup na domainu
1) zkus si rozmyslet dualni ulohu, tj pocet homomorfismu Zk->ZmxZn. Pripadne pak taky zobecnit na konecne souciny v cilove grupe. (Rekl bych, ze to pujde taky takto obecne, i kdyz ty vyrazy budou mozna vypadat o dost kokplikovaneji. Zakladem je umet v tom soucinu nejak popsat vsechny cyklicke grupy daneho radu.)
2) zkus zobecneni v tomto smeru: ukaz, ze kdykoli je pocet homomorfismu H->K n a pocet homomorfismu G->K m, kde G,H,K jsou komutativni grupy, pak uz je pocet homorfismu GxH->K roven mn. (Pozn: ten priklad 0) je ocividnym dusledkem tohoto faktu)
3) jestli znas klasifikaci konecnych komutativnich grup, naholedni, ze z toho jsi uz schopen urcit pocet homomorfismu libovolnych dvou komutativnich konecnych grup.