Matematické Fórum

meggie · 05. 05. 2011 15:43

v tomto integrálu

jsem se dopočítala k výsledku - 2 pí, výsledek je ale - pí/2

zpočátku jsem si vytkla 2, počítala přes per partes.. kde jsem udělala chybu?

děkuji

Rumburak · 05. 05. 2011 15:56

Kde jsi udělala chybu, bude možno přesně zjistit až podle Tvého výpočtu . To "vytkla jsem 2" mi ale připadá podezřelé už teď.
Postup per partes je správně, pokud volíme u(x) = x, v'(x) = sin 2x .

meggie · 05. 05. 2011 16:10

↑ Rumburak:

počítala jsem to takto:

Cheop · 05. 05. 2011 16:19 — Editoval Cheop (05. 05. 2011 16:20)

↑ meggie:
Při výpočtu je nejlepší použít 2 krát metodu per partes
a při druhém per partes si všimnout jedné zajímavé věci.

Výsledek je opravdu $-\frac{\pi}{2}\,\dot=\,-1,5708$

Cheop · 05. 05. 2011 16:21

↑ meggie:
$\sin(2x)\ne\,2\,\sin(x)$

jelena · 05. 05. 2011 16:29

↑ Cheop:

Zdravím,

myslím, že per partes bude jen jednou. Je tak? Děkuji.

Aby nedocházelo k problému s vytykáním, je dobré provést substituci $2x=t$ hned na úvod (zároveň nahradit první $x=t/2$ ).

Rumburak · 05. 05. 2011 16:43

↑ meggie:
Kolegové to už sice vyřešili, nicméně zkusím shrnout základní kroky výpočtu:

$\int_{0}^{\pi}x\sin 2x \,\mathrm{d}x = \left[ x \cdot \frac{-\cos 2x}{2}\right]_{0}^{\pi}- \int_{0}^{\pi}\frac{-\cos 2x}{2} \,\mathrm{d}x =\left[ x \cdot \frac{-\cos 2x}{2}\right]_{0}^{\pi} - \left[ \frac{-\sin 2x}{4}\right]_{0}^{\pi}$ .

meggie · 05. 05. 2011 17:00

↑ Rumburak:

děkuji za odpovědi, už tedy chápu, kde mám zakopaného psa, když integruji sin2x počítám podle jakého vzorečku aby mi vyšlo -cos2x/2...?

Cheop · 05. 05. 2011 17:41 — Editoval Cheop (05. 05. 2011 17:55)

↑ jelena:
Per partes bude 2x budu to počítat jako neurčitý integrál kvůli psaní.
$\int x\cdot\sin(2x) dx$
První per partes:
$u=x\quad u'=1\\v'=\sin(2x)\quad v=\sin^2\,x$
$\int x\cdot\sin(2x) dx=x\cdot \sin^2x-\int \sin^2x dx$
Druhé per partes řešíme integrál
$-\int \sin^2x dx$
$u=\sin\,x\quad u'=\cos\,x\\v'=-\sin\,x\quad v=\cos\,x$
$-\int \sin^2x dx=\sin\,x\cos\,x-\int\cos^2x\,dx\\-\int \sin^2x dx=\sin\,x\cos\,x-\int(1-\sin^2x)dx\\-\int \sin^2x dx=\sin\,x\cos\,x-x+\int\sin^2x\,dx\\-2\int\sin^2x\,dx=\sin\,x\cos\,x-x\\-\int\sin^2x\,dx=\frac{\sin\,x\cos\,x-x}{2}$
$\int x\cdot\sin(2x) dx=x\cdot\sin^2x+\frac{\sin\,x\cos\,x-x}{2}+C$
Po dosazení mezí $\pi$ resp $0$ bude všechno $0$ jen nám tam zbude $-\frac{\pi}{2}$ ( při vědomí toho, že $\sin(0)=0\\\sin(\pi)=0$

jelena · 05. 05. 2011 18:49

↑ Cheop: děkuji :-)

:-) Staršesestersky:

1) kvůli psaní můžeš, prosím, kolegyňce upřesnit přechod od vzorce $\sin (2x)$ integrováním za použití substituce k výsledku $-\frac{\cos2x}{2}$

2) jiný způsob integrování $\int \sin^2x \mathrm{d}x$ , než ten, který jsi použil,

3) možný krok, pokud použiji vzorec pro dvojnásobný úhel $\int x\cdot\sin(2x) \mathrm{d}x=\int x\cdot2\sin x \cdot \cos x \mathrm{d}x$

A sleduji, jak stavím do pozoru d v zápisu dx

U vás jsou ještě latifundie pod sněhem? U nás - předevčírem všechno bylo bílé, bohužel fotky mám nepěkné, nepodařilo - ale byla to nádhera :-)

Měj se hezky. Jelena

Rumburak

↑ meggie:

Podle věty o derivaci složené funkce je (rozepsáno pomocí diferenciálů, aby bylo zřejmé, podle čeho se kde derivuje):

$(\cos 2x)'=\frac {\mathrm{d}\cos 2x}{\mathrm{d}x} = \frac {\mathrm{d}\cos 2x}{\mathrm{d}(2x)}\cdot \frac{\mathrm{d}(2x)}{\mathrm{d}x} = (-\sin 2x)\cdot 2 = -2\sin 2x$

Proto - pouze řečeno jinými slovy - $\cos 2x$ je primitivní funkce k $-2 \sin 2x$ , takže $\frac{-\cos 2x}{2}$ je p. f. k $\sin 2x$ .

Z analogických důvodů $\frac{\sin 2x}{2}$ je p.f. k $\cos 2x$ .

meggie · 06. 05. 2011 10:13

↑ Rumburak:

Děkuji Vám všem za vyčerpávající výklad!!!! Opravdu jste mi pomohli.

jelena · 06. 05. 2011 15:16

Také děkuji kolegům za řešení v tématu.

Moje laskavá staršesesterská poznámka k řešení kolegy ↑ Cheop: je odůvodněna tak, že, ač je to jinak metoda pěkná, tak v tomto případě je na můj pohled velmi umělá a obsahuje moc operací navíc.

Kdybych měla v tomto případě metody seřadit, co do použitelnosti, tak bych to viděla:

1) substituce 2x=t, dx=(dt)/2 a integrál: $\frac{1}{4}\int t\sin t \,\mathrm{d}t$ s použitím per partes.

2) použití vzorce pro dvojnásobný úhel $\int x\cdot\sin(2x) \mathrm{d}x=2\int x\cdot\sin x \cdot \cos x \mathrm{d}x$

a per partes $u=x$ , $v^{\prime}=\sin x \cdot \cos x\mathrm{d}x$

3) pokud vznikne $\int \sin^2x \mathrm{d}x$ , potom více efektivní je použití goniometrického vzorce $\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$

4) algebraický trik od kolegy Cheopa, v místních poměrech metoda "něco - něco jiného od kolegy plisny"
-----------------------------------------------------------

Dobrý a přijemně použitelný přehled metod (i když byl od kolegů kritizován :-) je zde.

-----------------------------------------------------------

Ovládání goniometrických (a jiných) vzorců by mělo být samozřejmé :-)

-----------------------------------------------------------

Kolegům je všechno, co jsem napsala, je samozřejmě zcela jasné, ale starší sestry (alespoň některá) jsou prostě nesnesitelné :-)

Zdravím, ať se vede.