Matematické Fórum

Keo · 11. 05. 2011 20:58 — Editoval Keo (11. 05. 2011 22:14)

Ahoj, mohl by mi nekdo pomoct?
Mam zadane vektory z X tvorici bazi C3 a vektory z Y tvorici bazi C2
$X=( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix})$
$Y=( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix} )$
Dale mam linearni zobrazeni B z C3 do C2. a mam ho definovane:
$B\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
$B\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$B\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

a mam zjistit matici zobrazeni z baze X do Y.

Bouzel ale nejak ubec nevim jak zacit.. Vzdycky jsme matice zobrazeni z X do Y pocitali pomoci
$((A\vec{x_1})_Y,(A\vec{x_2})_Y,(A\vec{x_3})_Y)$ ale tady ubec nevim jak ty souradnice vektoru X v bazi Y sehnat

OiBobik

↑ Keo:

Ahoj,

to nebude tak těžké - musí se zase využít linearity toho zobrazení a toho, že dané zobrazení máš definováno taktéž na bázi, i když na jiné.

Prvně si vyjádři souřadnice vektorů z báze x vůči bázi, na níž máš zadáno to zobrazení (tj vektory (1,2,1)... atd ); ty nás nezajímají kvůli těm souřadnicím jako takovým, ale kvůli tomu, že ty souřadnice nám říkají, jak z oněch vektorů "namíchat" ten který vektor. (žejo, když má třeba vektor v souřadnice vůči bázi {u1,u2,u3} souřadnice (1,2,3), znamená to právě to, že v=1*u1+2*u2+3*u3)

A teď: Z linearity zobrazení plyne, že je-li $x_1=a\cdot v_1+b\cdot v_2+c\cdot v_3$ , pak $f(x_1)=a\cdot f(v_1)+b\cdot f(v_2)+c\cdot f(v_3)$ .

Tím získáš funkční hodnoty pro vektory z tebou zkoumané báze a můžeš již dál postupovat klasicky.

Keo · 11. 05. 2011 23:33 — Editoval Keo (11. 05. 2011 23:43)

uf, je mozne ze ty souradnice vyjdou ve zlokmach ?:-/ (estli si to zkousel teda)
Ted sem to snad dopocital.. a souradnice vektoru x_1,2,3 v bazi ((1,2,1),(0,1,2)..)
mi vysly vetsinou v petinach:-/

OiBobik

↑ Keo:

Já si myslím, že ano (nějaké pětiny tam lítají, ne? Kolik to vychází? každopádně ověřit správnost výpočtu jde snadno - zkrátka ověříš, že platí:
(první souřadnice)*(první vektor)+(druhá souřadnice)*(druhý vektor)+(třetí souřadnice)*(třetí vektor)=(původní vektor) )

Jo, to bude pravděpodobně správně.

Keo · 11. 05. 2011 23:51 — Editoval Keo (11. 05. 2011 23:56)

$x_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 4/5 \\ -1/5 \end{pmatrix}$ souradnice prvniho vektoru
$x_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$x_3= \begin{pmatrix} 1/5 \\ 7/5 \\ 2/5 \end{pmatrix}$

Popravde si teda nemyslim ze to je spravne :P

OiBobik

$\{x_1\}_{\text{báze}}= \begin{pmatrix} 2/5 \\ 4/5 \\ -1/5 \end{pmatrix}$
$\{x_2\}_{\text{báze}}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\{x_3\}_{\text{báze}}= \begin{pmatrix} 1/5 \\ 7/5 \\ 2/5 \end{pmatrix}$

Takto to myslím je. Vypadá to na nějaké numerické chybky v závěru.

Keo · 12. 05. 2011 00:00 — Editoval Keo (12. 05. 2011 00:12)

:) ted si me potesil :D cekal sem ze t obude cele zle :)
Ovsel co dal jsem moc nepochopil
-> jak mam vyuzit tohodle ? $f(x_1)=a\cdot f(v_1)+b\cdot f(v_2)+c\cdot f(v_3)$
hm.. za a,b,c souradnice a za f(v_1) 1,-1...
Vyjde mi pak jak se zobrazi prvni vektor do baze Y.. tedy uz ta moje milovana matice ?
--> tedy vyjdou prvne smaotne vektory a z tech se sezenou souradnice:)

OiBobik

↑ Keo:

Bacha taky jsem tam měl chybu (první vektor první souřadnice, už opraveno - přece jen je pozdě).

No a teď, jelikoš víš např., že $x_2=0\cdot u_1 + 1\cdot u_2 + 1\cdot u_3$ , víš rovněž, že $B(x_2)=0\cdot B(u_1)+ 1 \cdot B(u_2)+ 1 \cdot B(u_3)$ . Dopočítej si tedy tímto způsobem $B(x_1), B(x_2), B(x_3)$ a pak už stačí jen najít souřadnice těchto funkčních hodnot vzhledem k dané bázi Y.

Keo · 12. 05. 2011 00:18 — Editoval Keo (12. 05. 2011 00:25)

$B(x_1)= \begin{pmatrix} -3/5 \\ 1/5 \end{pmatrix}$
$B(x_2)= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
$B(x_3)= \begin{pmatrix} -4/5 \\ 3 \end{pmatrix}$
Muze byt?

A po zjisteni souradnic techto vektoru v Bazi Y bude vysledna matice:
-19/5 6 -4/5
11/5 -3 -31/5

.. je to aspon zhruba dobre? :)

OiBobik · 12. 05. 2011 00:39

↑ Keo:
$B(x_1)= \begin{pmatrix} -3/5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Jinak myslím, že je to dobře. (Souřadnice jsem už nekontroloval, kdyžtak na to mrknu zítra - ale kvůli chybě v tom jednom vektoru budou pravděpodobně jedny ty souřadnice špatně).

Keo · 12. 05. 2011 00:55

ee to uz nemusis takhle mi to bohate staci:) dekuju a dobrou

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2011 20:58 — Editoval Keo (11. 05. 2011 22:14)

Algebra - matice zobrazeni

#2 11. 05. 2011 22:45 — Editoval OiBobik (11. 05. 2011 23:07)

Re: Algebra - matice zobrazeni

#3 11. 05. 2011 23:33 — Editoval Keo (11. 05. 2011 23:43)

Re: Algebra - matice zobrazeni

#4 11. 05. 2011 23:46 — Editoval OiBobik (11. 05. 2011 23:47)

Re: Algebra - matice zobrazeni

#5 11. 05. 2011 23:51 — Editoval Keo (11. 05. 2011 23:56)

Re: Algebra - matice zobrazeni

#6 11. 05. 2011 23:57 — Editoval OiBobik (12. 05. 2011 00:02)

Re: Algebra - matice zobrazeni

#7 12. 05. 2011 00:00 — Editoval Keo (12. 05. 2011 00:12)

Re: Algebra - matice zobrazeni

#8 12. 05. 2011 00:07 — Editoval OiBobik (12. 05. 2011 00:07)

Re: Algebra - matice zobrazeni

#9 12. 05. 2011 00:18 — Editoval Keo (12. 05. 2011 00:25)

Re: Algebra - matice zobrazeni

#10 12. 05. 2011 00:39

Re: Algebra - matice zobrazeni

#11 12. 05. 2011 00:55

Re: Algebra - matice zobrazeni

Zápatí