Matematické Fórum

ajucha · 13. 05. 2011 22:05

Potřebovala bych pomoct s vyřešením řady: suma n-tá odmocnina ze 2 -1 neboli 2^(1/n)-1
1) udělala jsem si nutnou podmínku, že lim 2^(1/n)-1=2^0 - 1=0 podmínka splněna
2)snažila jsem se to spočítat pomocí srovnávacího kritérie, kde jsem si za bn zvolila bn=2^(1/n)
-> lim (2^(1/n)-1)/(2^(1/n))=0
musím ještě zjistit, jak je na tom bn a bn mi vyšlo, že diverguje, ale podle srovnávacího kritéria takováto podmínka není, prootže když bn diverguje, tak by musela být limita an/bn vetsi jak 0 a to není,protože se rovná 0...

poté jsem to zkoušela podle podílového kritéria, ale limita a_(n+1)/a_n mi vyšla 1 a takováto podmínka taky není...

jak to tedy mam udelat prosím ???

OiBobik · 13. 05. 2011 22:17

↑ ajucha:

Zkus srovnávací kritérium s harmonickou řadou. Asi to bude chtít L'Hospitala nebo něco takového.

halogan · 13. 05. 2011 22:24

Proč to ostřelovat nějakými řadami a zkoušet kritéria?

V hodně standardních VŠ úlohách se to řeší přes limitní srovnávací kritérium. Jeho podstata je jednoduchá. Ty vyzkoumáš, jak se chová tvá řada a často dojdeš k tomu, že o konvergenci/divergenci této jednodušší řady něco víš.

U tvé řady využiiješ znalosti $2^{1/n} = \text{exp}(1/n \log 2)$ a už máš prakticky hotovo. Vybavíš si limitu fce

$(\text{exp}(x)-1)/x$

pro x jdoucí do nuly a máš to.

ajucha · 13. 05. 2011 22:29

↑ halogan:
tak to nechapu.... mam to vypočítat pomoci srovnavaciho nebo podiloveho kriteria, ale nevychazi mi to... nemohliby jste mi to podlejednoho z techto kriterii spocitat?

halogan · 13. 05. 2011 22:32

↑ ajucha:

Spočítej limitu $a_n$ trochu jinak. Přes nástroje, které jsem ti nabídl. Hned to v tom uvidíš, věř mi :-)

ajucha · 13. 05. 2011 22:37

↑ halogan:
ja ale ty tvoje nastroje nechapu...

halogan · 13. 05. 2011 22:47

Tak půjdem krok po kroku dokud to nepochopíš (nebo někdo nepřijde s jednodušším řešením, jak to tak už bývá).

1) Máme řadu. V tomhle případě $a_n = 2^{1/n} - 1$ a nevíme, jak se přesně chová.

2) Víme ale, jak se zhruba chovají řady $1/n^{\alpha}$ , to je docela základ při počítání konvergencí.

3) Tak teda zkusíme spočítat limitu naší $\{a_n\}$ , protože z limity zjistíme, jak se chová, ne?

4) Vzpomeneme si na předchozí semestr/rok/týden/měsíc, že známe nějaké tabulkové limity, třeba

$\lim_{x \to 0} \frac{\text{e}^x - 1}{x} = 1$

---

Tady zatím přestanu... je vše jasné, nebo už krok 4) dělá problém?

ajucha · 13. 05. 2011 22:50

↑ halogan:
dělá asi problém :(

halogan · 13. 05. 2011 22:55

Tak já se asi zatím vzdálím a počkám, zda přijde někdo, kdo nabídne jiné řešení. Já mám takové to svoje konzervativní řešení, ale určitě se najde někdo s alternativou.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek

↑ halogan:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

pf · 13. 05. 2011 23:20 — Editoval pf (13. 05. 2011 23:22)

Triviálně bez limit:

Pro všechna n je 2^(1/n)-1 > ln(2)/n [plyne třeba z t-1>ln(t) pro t=2^(1/n)], takže zadaná řada diverguje.

halogan · 13. 05. 2011 23:22

↑ Pavel Brožek:

Moc dobře to vím, vypadlo mi tam za posledním rovnítkem \lim. Na tohle jsem docela háklivý, takže bych měl vlastně pokárat sám sebe :-)

Díky za upozornění.

Pavel Brožek · 13. 05. 2011 23:27

↑ halogan:

Pak se mi ale takový argument nelíbí :-). To bych také mohl psát

$\lim_{n \to \infty} 2^{1/n} - 1 = \lim_{n \to \infty} \frac 1n \log 2=0=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}$ .

Z rovnosti limit nemůžeme posuzovat, jak se funkce chovají.

halogan · 13. 05. 2011 23:45

↑ Pavel Brožek:

Já ale také upravuji jen tak, abych mohl později limitně srovnat s 1/n^k, proto upravuji jen jako kdybych limitu opravdu počítal (vždy tedy jen vhodně rozšiřuji).

Implikaci "limity se rovnají -> funkce se chovají podobně pro n jdoucí k nekonečnu (nebo chceš-li — jejich podíl má v nekonečnu reálnou limitu)" v žádném případě netvrdím.

Z příspěvků slečny Aleny jsem pochopil, že takové nuance stejně řešit nebude :-)

----

V tomto případě je nejjednodušší asi řešení ↑ pf:, i když obecně se na zkoušku stejně bude muset naučit zacházet s limitním srovnávacím kritériem.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2011 22:05

konvergene řady

#2 13. 05. 2011 22:17

Re: konvergene řady

#3 13. 05. 2011 22:24

Re: konvergene řady

#4 13. 05. 2011 22:29

Re: konvergene řady

#5 13. 05. 2011 22:32

Re: konvergene řady

#6 13. 05. 2011 22:37

Re: konvergene řady

#7 13. 05. 2011 22:47

Re: konvergene řady

#8 13. 05. 2011 22:50

Re: konvergene řady

#9 13. 05. 2011 22:55

Re: konvergene řady

#10 13. 05. 2011 23:11 — Editoval Pavel Brožek (13. 05. 2011 23:18)

Re: konvergene řady

#11 13. 05. 2011 23:20 — Editoval pf (13. 05. 2011 23:22)

Re: konvergene řady

#12 13. 05. 2011 23:22

Re: konvergene řady

#13 13. 05. 2011 23:27

Re: konvergene řady

#14 13. 05. 2011 23:45

Re: konvergene řady

Zápatí