Matematické Fórum

ajucha · 11. 05. 2011 22:46

nevím si rady s příkladem: Která kružnice prochází bodem A[6,1] se středem na přímce p:9x+4y-47=0 a je kolmá ke k2: x^2+y^2-2x+5y-5=0. Návod mám ten, že si hledanou kružnici označím l:(x-m)^2+(z-n)^2=r^2 , do této rovnice l dosadím bod A ->to mám 1. rovnici
2.rovnice bude: 9m+4n-47=0 hledáme vlastně střed a ten leží na přímce p
3.rovnice bude: Tjáletova kružnice nad S1[1,-5/2] a S2[m,n], coz jsou stedy kruznic
poté z 2. a 3. rovnice dostaneme m a n a to doasime do kruznice l a je to hotovo.

Takový mám návod,ale nevím si rady s tou Thaletovou kruznici,jak ji mam sesrojit. Zkousela jsem to, ze jsem si vypocitala vzdalenost S1 a S2 a vydelila jsem to 2 a to mi vzniklo r, a stred Thal.kruznice jsem spocitala jako (S1+S2)/2 a pak jsem to dala jen do vzorce kruznice.
Ale po uprave vzorce teto kruznice mi vysla silena rovnice a nic sem s tim neudelala....
Poradili by jste mi nekdo?Dekuju :)

OiBobik

Ahoj,

jak se definuje kolmost dvou kružnic? Znamená to, že tečny k jednotlivým kružnicím v bodě, kde se kružnice protínají, jsou na sebe kolmé? S tím jsem se ještě nesetkal.

ajucha · 11. 05. 2011 23:07

↑ OiBobik:
znamená to,že tečny ze středu kruznic jsou na sebe kolmé.
Ten postup,co tam mám je správný, říkal nám ho takto učitel,jn si jevím rady s tím bodem,jak tam je Thaletova kruznice...

OiBobik

↑ ajucha:

Chyba, samé blbosti píšu, omlouám se
(resp. nebyla by to blbost, pokud bych věděl, že body dotyku těch kolmých tečen splývají a jsou to právě průsečíky obou kružnic, což si myslím, že tak je, ale nemůžu to tvrdit jistě)
(ještě jeden edit: myslím, že to tvrzení je i snadno dokazatelné, jinak bychom došli ke sporu v podobě existence "dvojpravoúhlého trojúhelníku"; takže to snad až taková blbost není, ale nevím, jestli ti to moc pomůže ... : (( )

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

ajucha · 12. 05. 2011 12:00

↑ OiBobik:
potřebovala bych spís pradit,jak napsat rovnici té Thaletovy kruznice:)

Rumburak

↑ ajucha:
Tu Thaletovu kružnici teď odsuňme stranou. Zkusil bych kolmost kružnic vyjádřít pomocí jejich normálových vektorů.
Obecně platí, že pro rovinnou regulární hladkou křivku určenou rovnicí f(x,y) = 0 je v jejím bodě [a, b] jejím normálovým vektorem

$\left(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b), \,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \right)$ .

Normálový vektor je kolmý k tečnému vektoru, takže kolmost tečných vektorů dvou křivek je ekvivalentní s kolmostí jejich normálových vektorů.

EDIT. Ale teď vidím, že prakticky totéž (i když veden jinou úvahou) navrhl už kolega ↑ OiBobik:.

Rumburak

↑ ajucha:
Udělejme si přehled:

A) Neznámé :

m, n , r ... souřadnice středu a poloměr hledané kružnice ,
x, y ... souřadnice některého z průsečíků obou kružnic (průsečíky budou dva).

B) Rovnice resp. podmínky vyjádřitelné rovnicemi:

(1) Rovnice hledané kružnice k_1 (obsahuje neznámé x, y, m, n, r)

(2) Rovnice dané kružnice k_2 (obsahuje neznámé x, y)

(3) Bod [m, n] leží na přímce p (neznámé m, n)

(4) Bod A leží na kružnici k_1 (neznámé m, n, r) ,

(5) Kružnice k_1, k_2 se protínají pod pravým úhlem (neznámé x, y, m, n) .

Máme tedy soustavu pěti rovnic o stejném počtu neznýmých.

musixx · 12. 05. 2011 15:25

O té Thaletově kružnici je tam řeč proto, že pro kolmé kružnice leží jejich společný bod na Thaletově kružnici nad spojnicí jejich středů. Ovšem analyticky počítat průsečík dvou kružnic (tady té k2 a oné Thaletovy) není moc příjemné.

Ovšem ta řeč o Thaletově kružnici je totéž, že trojúhelník S1-S2-X je pravoúhlý s pravým úhlem u X, kde X je průsečík známé k2 a hledané k1.

Zavedení vhodného souřadného systému ulehčí počítání (neulehčí princip).

Posuňme a otočme souřadný systém tak, aby jeho počátek byl ve středu zadané kružnice k2 a aby osa y byla kolmá na zadanou přímku p.

Budu dále velkými písmeny psát známé parametry, ať se v tom dobře orientuje.

Má pak totiž přímka p obecnou rovnici $y=B$ a kružnice k2 rovnici $x^2+y^2=R^2$ . Bod A má souřadnice $[P,Q]$ .

Střed hledané k1 je pak $S1=[a,B]$ , kde 'a' neznáme. Z S1 a bodu A ale máme hned poloměr hledané kružnice k1, jehož druhá mocnina je proto $(P-a)^2+(Q-B)^2$ .

Výše zmíněná Pythagorova věta (S2 je totiž [0,0]) pak dává
$(P-a)^2+(Q-B)^2+R^2=a^2+B^2$ ,
což je lineární rovnice pro 'a' (je vidět, že a^2 se hned odečte).

Rumburak

↑ ajucha:

Napadl mne ještě jeden možný pohled na situaci.

Mějme dánu kružnici $k_2$ se středem $C$ a uvažujme - prozatím obecnou - kružnici $k_1(S,r)$ protínající kružnici $k_2$ v bodě $T$ .
(Pro naše účely nebude nutné zabývat se i druhým průsečíkem, jehož postavení k oběma kružnicím bude analogické. Z těchto důvodů
pro něj ani nezavádím zvláštní označení.)

Jestliže se tyto kružnice protínají (v bodě T) pod pravým úhlem, pak to znamená, že přímka $ST$ je tečnou ke kružnici $k_2$ a bod $T$
bodem dotyku, z toho dále plyne: bod $S$ leží vně kruhu ohraničeného kružnicí $k_2$ .

Vedeme-li bodem $S$ přímku $s$ tak, aby protla kružnici $k_2$ v bodech $P$ , $Q$ , potom podle věty o mocnosti bodu ke kružnici bude

(1) $|SP|\cdot|SQ|=|ST|^2 = r^2$ .

Takovou sečnu $s$ můžeme vést speciálně tak, aby navíc procházela bodem $C$ , body $P$ , $Q$ pak označme $P_S$ , $Q_S$ a nebude
těžké vyjádřit je pomocí bodu $S$ .

Má-li kružnice $k_1$ navíc procházet daným bodem $A$ , musí být též $|SA| = r$ , což dle (1) a následné konvence dává

(2) $|SP_S|\cdot|SQ_S|=|SA|^2$ .

Bod $S$ tedy celkem hledáme tak, aby ležel na dané přímce $p$ a při tom splňoval rovnici (2).

Neměl jsem zatím čas spočítat to podrobně, ale připadá mi, že by to mohlo být technicky méně náročné, než předchozí uvažované postupy.

EDIT . Ale relaxační počítání to ani teď není.

Rumburak

K předchozímu svému příspěvku ještě doplním další možnost postupu, patrně již tu nejjednodušší:

Na pravoúhlý trojúhelník STC (s přeponou SC) použijeme Pythagorovu větu a obdržíme

(3) $|SC|^2 = |ST|^2 + |TC|^2$ ,

kamž dosadíme

$|TC| = \rho$ (poloměr dané kružnice $k_2$ , který z její rovnice snadno zjistíme spolu s bodem C) ,
$|ST| = |SA|$ (neboť oba body T,A mají ležet na hledané kružnici $k_1$ , jejímž středem je S) .

Rovnice (3) tak dostane tvar

(4) $|SC|^2 = |SA|^2 + \rho^2$ ,

v níž jedinými neznámými budou souřadnice m, n bodu S. Její úpravou obdržíme rovnici $am + bn + c = 0$
se známými konstantami a, b, c.
Druhou rovnicí téhož tvaru bude rovnice dané přímky p, na níž má ležet bod S.
Pro souřadnice bodu S tak máme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, jejíž vyřešení už je snadné.