Matematické Fórum

mischell90 · 17. 05. 2011 16:18

Ahoj, už delší dobu si hlavu lámu nad tímto příkladem:

Rozhodněte, zde vektor ->a patří do podprostoru W=[{->u1,->u2, ->u3}] ⊆⊆R4, kde: ->a = (-1,2,3,1), ->u1=(2,0,2,1), ->u2=(3,1,2,5), ->u3=(0,0,0,1)

šipka značí vektor.

Byl by někdo tak hodný a pomohl by mi s tím prosím?

Předem děkuji moooc za odpověď.

Olin · 17. 05. 2011 16:32

Asi bych postupoval takto: nahlédneme, že vektory $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3$ jsou lineárně nezávislé (to je snadné vzhledem k tomu, jak vypadá $\vec{u}_3$ ). Potom bych napsal všechny 4 vektory do matice a spočítal její determinant. $\vec a \in W$ bude platit právě tehdy, když bude tento determinant nulový (je jasné proč?).

mischell90 · 17. 05. 2011 16:38

Zkusím to spočítat, ale není jasné, proč ->a bude patřit do podprostoru právě, když bude det = 0.

mischell90 · 17. 05. 2011 16:43

takže determinant vyšel 5, takže vektor a nepatří do podprostoru??

Olin · 17. 05. 2011 16:46 — Editoval Olin (17. 05. 2011 16:47)

Determinant bude nulový právě tehdy, když ty 4 vektory budou lineárně závislé, tedy existují reálná čísla (ne všechna nulová) $k, l, m, n$ taková, že $k \vec a + l \vec{u}_1 + m \vec{u}_2 + n \vec{u}_3 = \vec o$ . Navíc nemůže být $k=0$ , jinak by bylo $l \vec{u}_1 + m \vec{u}_2 + n \vec{u}_3 = \vec o$ , což je spor s tím, že tyto tři vektory jsou lineárně nezávislé. Můžeme tedy napsat
$\vec a = -\tfrac 1k \left (l \vec{u}_1 + m \vec{u}_2 + n \vec{u}_3 \right)$ ,
což znamená, že $\vec a \in W$ .

Jinak mně vyšel determinant 12.

mischell90 · 17. 05. 2011 16:51

tak děkuji moc, ten determinant už vidím, já počítala už další příklad,který má podobné vektory v zadání..

LukasM · 17. 05. 2011 21:30

↑ mischell90:
Má ta sestavená matice soustavy nějakou souvislost s tím zadáním v prvním příspěvku? Já žádnou nevidím.

Jinak ta soustava správně vyřešená není, ať už se vzala kdekoli. Na jednom místě se mi zdá že ulétlo znaménko, ale hlavně nevím jak se ti podařilo splnit tu poslední rovnici.

mischell90 · 17. 05. 2011 21:48

omylem jsem sem dala jinou fotku;) http://imageshack.us/photo/my-images/82 … 1131n.jpg/ tak je to dobře?

LukasM · 17. 05. 2011 22:05

↑ mischell90:
Rozhodně není. Matice soustavy je sestavená správně. Ale při úpravách jsi udělala nejspíš dvě chyby. Při přehazování řádků hned v prvním kroku sis neopsala jedno znaménko, a pak je pravděpodobně chyba v poslední úpravě posledního řádku - nicméně jak na to tak zhruba koukám, tak kdyby se upravovalo správně, vyšla by při správných úpravách nejspíš ekvivalentní matice jako vyšla tobě, takže ty chyby v tomhle případě nehrají roli.

No, ale hlavně co ta volba těch neznámých.. Podívej se na tu poslední rovnici. Podle tebe platí rovnost $0\cdot (\frac{1}{2}) + 0\cdot 2 + 0\cdot (-\frac{17}{2})=13$ ?

mischell90 · 17. 05. 2011 22:09

No právě s tou poslední rovnicí nevím co dělat, ta mi tam dělá guláš a jinak ten postup si poupravím, bývám dost zbrklá při výpočtech a nejednou jsem na to doplatila.

LukasM · 17. 05. 2011 22:14

↑ mischell90:
No, co s ní dělat. Uděláš s ní to samé co kolegyně tady.

Ale přece ji nemůžeš ignorovat, ne? Pokud to uděláš, tak jsi vlastně rozhodla o tom, že tam ten vektor bude patřit. A pokud o tom chceš tímhle způsobem rozhodovat, tak je lepší udělat to hned na začátku a ani nezačínat s počítáním.

mischell90 · 17. 05. 2011 22:18

děkuji, takže soustava nemá řešení a vektor "a" tedy do podprostoru W nepatří?

LukasM · 17. 05. 2011 22:22

↑ mischell90:
Ano. Akorát nevím proč se na to ptáš, když to jasně vyplývá z toho co napsal výše Olin. Dal si s tím práci, tak bych to neignoroval.

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2011 16:18

patří vektor do podprostoru?

#2 17. 05. 2011 16:32

Re: patří vektor do podprostoru?

#3 17. 05. 2011 16:38

Re: patří vektor do podprostoru?

#4 17. 05. 2011 16:43

Re: patří vektor do podprostoru?

#5 17. 05. 2011 16:46 — Editoval Olin (17. 05. 2011 16:47)

Re: patří vektor do podprostoru?

#6 17. 05. 2011 16:51

Re: patří vektor do podprostoru?

#7 17. 05. 2011 17:12 Příspěvek uživatele mischell90 byl skryt uživatelem mischell90. Důvod: špatná odpověĎ

#8 17. 05. 2011 21:30

Re: patří vektor do podprostoru?

#9 17. 05. 2011 21:40 Příspěvek uživatele mischell90 byl skryt uživatelem mischell90. Důvod: špatná odpověd

#10 17. 05. 2011 21:48

Re: patří vektor do podprostoru?

#11 17. 05. 2011 22:05

Re: patří vektor do podprostoru?

#12 17. 05. 2011 22:09

Re: patří vektor do podprostoru?

#13 17. 05. 2011 22:14

Re: patří vektor do podprostoru?

#14 17. 05. 2011 22:18

Re: patří vektor do podprostoru?

#15 17. 05. 2011 22:22

Re: patří vektor do podprostoru?

Zápatí