Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Potrebujem pomoct s dokazovanim, ze sucet tretich mocnin kazdych troch po sebe nasledujucich prirodzenych cisel je delitelny 9.
Asi to nepojde inak ako matematickou indukciou, ze?
Skusal som to aj nejako obist, ze je v tom len nejaka finta, ale neviem na nu prist...
Offline
↑ mudrnudl:
Ak sa nemýlim:
Po sebe idúce prirodzené čísla môžu byť napríklad čísla
1. Vytvor súčet ich tretích mocnín, ak je problém, možno pomôže Odkaz
2. Dostaneš výraz, ktorý je evidentne deliteľný troma.
3. Potrebuješ dokázať, že zvyšok výrazu okrem činiteľa 3 je deliteľný troma, aby si dokázal, že celý výraz je deliteľný deviatimi.
Dá sa to urobiť jednoducho matematickou indukciou.
↑ mudrnudl:
Asi to budeš muset udělat matematickou indukcí... ale není to strašný výraz, když se to upraví :-)
pro jedničku to očividně platí... teď už jen implikační krok
Offline
k tomu som sa uz dostal, to je v podstate veta k - V(k) (ked nahradim n-ka k-ckom)
teraz to iste spravim pre k+1 clen => V(k+1):
3k^3 + 9k^2 + 15k + 9
ja uz som to rozpisal aj pre V(k+2):
3k^3 + 18k^2 + 42k + 36
mojim problemmom je, ze neviem co dalej, zo vsetkeho sa da vyjmut 3, ale nie 9...
Offline
mohol by som tu V (k+1) upravit na:
(3k^3 + 6k) + 9k + 9k^2 + 9
vyraz v zatvorke nahradim nejakym 3y z vety V(k)
3y + 9.(k+ k^2 + 1)
a v podstate V(k) nemusim dokazovat, ze je delitelna 9 - jednuducho to tak je...
je to spravne prosim vas?
Offline
↑ mudrnudl:
Vybral si si zložitejší zápis po sebe idúcich prirodzených čísel ...
Vo vzťahu sú dva členy deliteľné deviatimi. Myslím, že deliteľnosť deviatimi stačí dokázať u zvyšných členov, teda
.
Výraz sa dá upraviť tak, že je vidno jeho deliteľnosť troma: .
Myslím, že teraz stačí už len indukciou dokázať, že výraz je deliteľný troma.
↑ mudrnudl:
Předpoklad je: - s tím počítám, jako by to platilo
- když od toho odečtu předpoklad: - což už dělitelné devíti je
Offline
↑ mudrnudl:
Píšem Ti o tom Tvojom v príspevku #6 ...
A možno ľahšie by bolo tie tri čísla si zapísať pomocou zvyškov po delení troma. Kedže su to tri po sebe idúce prirodzené čísla tak jedno z nich je deliteľné 3, iné dáva zvyšok 1 a ďalšie 2. Zapísať ako 3k, 3k+1, 3k+2 a ďalej už iba priamo... Myslím, že je to jednoduchšie.
Offline
↑ mudrnudl:
Mně ten Alanův postup vyšel:
Offline
↑ Aquabellla:
Nemám to vyrátané, ale tipujem, že tých k na tretiu tam bude viac, alebo nie?
↑ Alan122:
OT: Myslím, že pekný nápad... :-)
Nechceš skúsiť TeX ? Len som Tvoj zápis obalila do TeXu (tlačidlo vľavo dolu pod Textarea) a hviezdičky z násobenia nahradila bodkami...
Keď klikneš na hociktorý TeXový zápis, v textarea vidíš jeho syntax - veľmi ľahko sa tak dá hocičo naučiť. Alebo tiež Odkaz
↑ Alan122:
Už naozaj len tak btw: Ráno som sa zobudila a vynorilo sa mi, že člen deliteľný troma by mohol byť ten stredný (všeličo - málo - vypadne), teda:
ale to už len tak, Tvoj nápad bol veľmi pekný...
↑ Dana1:
Pardon, překlep se vloudil (18 -> 81)
Offline
↑ Dana1:↑ Alan122:
Je třeba postupovat opatrněji: a ta tři čísla obecně volit např. jako 3k, 3m+1,3n+2. Myšlenka však zůstává - ta tři čísla dávají různé zbytky po dělení 3. Není však pravda (to si myslela Dana), že to budou vždy čísla 3k,3k+1,3k+2. Každopádně nakonec i tak získáme 9X+1+8, což je násobek 9. (Dokonce jsme dokázali víc - ta čísla spolu nemusí "sousedit", stačí když dávají různé zbytky mod 3).
Offline
Stránky: 1