Matematické Fórum

↑ mudrnudl:

Ak sa nemýlim:

Po sebe idúce prirodzené čísla môžu byť napríklad čísla

1. Vytvor súčet ich tretích mocnín, ak je problém, možno pomôže Odkaz

2. Dostaneš výraz, ktorý je evidentne deliteľný troma.

3. Potrebuješ dokázať, že zvyšok výrazu okrem činiteľa 3 je deliteľný troma, aby si dokázal, že celý výraz je deliteľný deviatimi.
    Dá sa to urobiť jednoducho matematickou indukciou.

k tomu som sa uz dostal, to je v podstate veta k - V(k) (ked nahradim n-ka k-ckom)
teraz to iste spravim pre k+1 clen => V(k+1):
3k^3 + 9k^2 + 15k + 9

ja uz som to rozpisal aj pre V(k+2):
3k^3  + 18k^2 + 42k + 36

mojim problemmom je, ze neviem co dalej, zo vsetkeho sa da vyjmut 3, ale nie 9...

↑ mudrnudl:

Vybral si si zložitejší zápis po sebe idúcich prirodzených čísel ...


Vo vzťahu   sú dva členy deliteľné deviatimi. Myslím, že deliteľnosť deviatimi stačí dokázať u zvyšných členov, teda

.

Výraz sa dá upraviť tak, že je vidno jeho deliteľnosť troma: .

Myslím, že teraz stačí už len indukciou dokázať, že výraz   je  deliteľný troma.

Skrytý text:
Pre k=1 platí. Predpokladám pre k, dokážem pre k + 1. 

Prvé dva členy sú deliteľné troma z indukčného predpokladu, zvyšok je deliteľný troma evidentne...

asi je to lepsie, to mas pravdu, ale to moje je zas... moje

A možno ľahšie by bolo tie tri čísla si zapísať pomocou zvyškov po delení troma. Kedže su to tri po sebe idúce prirodzené čísla tak jedno z nich je deliteľné 3, iné dáva zvyšok 1 a ďalšie 2. Zapísať ako 3k, 3k+1, 3k+2 a ďalej už iba priamo... Myslím, že je to jednoduchšie.

↑ mudrnudl:

Mně ten Alanův postup vyšel:

(3k)^3 + (3k+1)^3 + (3k+2)^3 =
=27k^3 + 27k^3 + 3*9k^2*1 + 3*3k*1^2 + 1^3 + 27k^3 + 3*9k^2*2 + 3*3k*4 + 8
a dalej to isto dokončíš.

diky, takze:



9 vyjmem



toto tiez neni zly napad - priamo je to predsa len intuitivnejsie (prepacte, ze toto slovo pletiem do matematiky)

EDIT: ten teX vazne funguje !

↑ Alan122:

Už naozaj len tak btw: Ráno som sa zobudila a vynorilo sa mi, že člen deliteľný troma by mohol byť ten stredný (všeličo - málo - vypadne), teda:



ale to už len tak, Tvoj nápad bol veľmi pekný...

↑ Dana1:↑ Alan122:
Je třeba postupovat opatrněji: a ta tři čísla obecně volit např. jako 3k, 3m+1,3n+2. Myšlenka však zůstává - ta tři čísla dávají různé zbytky po dělení 3. Není však pravda (to si myslela Dana), že to budou vždy čísla 3k,3k+1,3k+2. Každopádně nakonec i tak získáme 9X+1+8, což je násobek 9. (Dokonce jsme dokázali víc - ta čísla spolu nemusí "sousedit", stačí když dávají různé zbytky mod 3).