Matematické Fórum

Esperance · 26. 05. 2011 17:30

Ahoj, moc moc prosím o radu jak se dokazují následující dvě tvrzení... díky.. nějak se v tom plácám

-když má funkce v nekonečnu konečnou limitu, musí tam mít její derivace limitu nulovou
- funkce stejnoměrně spojitá, integrál od nuly do nekonečna konverguje, dokázat že limita v nekonečnu musí být nula..

diky moc

Stýv · 26. 05. 2011 17:37

nemýlím-li se, to první neplatí. druhý bych dokazoval sporem

Esperance · 26. 05. 2011 17:47

Mohl bys, prosím, své úvahy rozvést?

podle knihy by měly platit obě - z čeho soudíš, že to neplatí?

ad druhé tvrzení. Já se pokoušela následujícím zpúsobem: napsala jsem si definici stejnomerne spojitosti a pak predpokladala:¨

1)integral konverguje tzn pro kazde epsilon kladne existuje c (c z intervalu (0, infty), ze pro kazde x,x_1 z intervalu (c,infty) plati ze abs. hodnota z integralu v techto mezich je mensi nez epsilon

2)ze limita f v nekonecnu se nerovna nule tzn abs(f(x))>delta

a chci dojit ke sporu

z toho mam do stejnomerne spojitosti nejake abs( f(x) - f(x_1) )<epsilon_1
abs( delta - f(x_1) )<epsilon_1 .... dal jsem se nedostala....

Stýv · 26. 05. 2011 18:08

tak se napřed podíváme na to první tvrzení. podívej se na graf:

tady se můžeš inspirovat. chce to najít nějakou funkci, která bude hladká (i když v předpokladech to neni explicitně zmíněno, ale jinak by to bylo triviální), její "zuby" se budou snižovat (aby existovala limity), ale současně se budou zkracovat, takže budou pořád dost "strmý" (aby derivce neměla limitu)
schválně neuvádím konkrétní protipříklad, na ten musíš přijít sama

když jse mto tak sepsal, tak mě napadá, že za předpokladu, že limita tý derivace existuje, by to asi platilo

Esperance · 26. 05. 2011 18:19

↑ Stýv:

To se mi zdá jako velmi dobrý protipříklad, děkuji.
Je tedy možné, že k tomu byl přidán předpoklad existence derivace. Nečtu to z knihy, ale mám to z druhé ruky typu "co jsem dostal na zkoušce, nevyřešil, ale má to vyjít":-)

Stýv · 26. 05. 2011 18:27

↑ Esperance: tak pokud by ta derivace měla limitu, ale nenulovou, (búno kladnou) tak tu funkci snadno zespoda omezíš nějakou přímkou, která jde k nekonečnu

Esperance · 26. 05. 2011 19:46

Chápu, děkuji.

Mohl bys mi prosím ještě osvětlit jak pokračovat (nebo se vydat uplně jinou cestou) u tvrzení 2?

Stýv · 26. 05. 2011 20:08

Esperance napsal(a):
2)ze limita f v nekonecnu se nerovna nule tzn abs(f(x))>delta

pri jaká x to platí?

Esperance · 26. 05. 2011 20:38

hm... dle definice limity funkce pro kazda x z df průnik okolí nekonecna (krome samotneho nekonecna) ?

Stýv · 26. 05. 2011 20:53

↑ Esperance: to určitě ne. třeba sin(x) nemá limitu 0 a přitom sin(x)=0 pro některý x z libovolnýho okolí nekonečna

Pavel Brožek

↑ Esperance:

Podle mě musíme i v druhém tvrzení předpokládat, že limita v nekonečnu existuje, jinak to neplatí.

(Pokud bude zájem, pokusím se zkonstruovat protipříklad.)

Esperance · 26. 05. 2011 21:11

zájem určitě je:-)

Esperance · 26. 05. 2011 21:13

↑ Stýv:

já teď moc nechápu tu analogii. Sinus na celem svem Df nemá limitu, protože osciluje... na vybraných monotonich intervalech prosim... ale nevím jak mi to má pomoct?

Stýv · 26. 05. 2011 21:15

↑ Pavel Brožek: já myslim, že existovat nemusí

Stýv · 26. 05. 2011 21:21

↑ Esperance: ty jsi vlastně napsala

limita f v nekonecnu se nerovna nule tzn abs(f(x))>delta kazda x z df průnik okolí nekonecna

já ti ukázal příklad funkce, pro kterou tvoje tvrzení neplatí. jenom chci, aby sis rozmyslela, jak je to s tím abs(f(x))>delta: pro jaká x? pro jaká delta to platí? (nebo spíš pro kolik x, delta to platí?)

Pavel Brožek · 26. 05. 2011 21:42

↑ Stýv:

Asi máš pravdu, nerozmyslel jsem si to dost podrobně. Je tam podstatná ta stejnoměrná spojitost.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Esperance · 26. 05. 2011 21:43

no tak co mě napadá:
zápis, že limita je nula
pro každé delta větší než nula existuje okolí nekonečna takové, že pro každé x z Df průnik okolí nekonečna (kromě nekonečna), x patčí do okolí_nek. => abs(f(x))<delta

negace
existuje delta vetsi nez nula, ze pro kazde okoli nekonecna..... x patri do okoli a abs(f(x))>delta.

takze to plati jen pro nejaka delta a pak to x patri do okoli...
no nejak z toho nejsem moudrá

Stýv · 26. 05. 2011 22:06

↑ Esperance: to už je lepší. búno navíc můžeme předpokládat, že přímo $f(x)>\delta$ pro nějaký $x$ na libovolnym okolí $\infty$ . takže si vezmeš nějaký takový $\delta$ a $x$ , a z tý stejnoměrný spojitosti ukážeš, že $f(y)>\frac\delta2$ dokonce na nějakym $\varepsilon\text{-okolí }x$ . pak si vezmeš další $x$ za timhle okolíčkem a uděláš to samý atd. takže máš nekonečnou posloupnost obdélníčků $2\varepsilon\times\frac\delta2$ ...

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2011 17:30

Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#2 26. 05. 2011 17:37

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#3 26. 05. 2011 17:47

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#4 26. 05. 2011 18:07 Příspěvek uživatele halogan byl skryt uživatelem Stýv. Důvod: i ty, brute?

#5 26. 05. 2011 18:08

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#6 26. 05. 2011 18:19

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#7 26. 05. 2011 18:27

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#8 26. 05. 2011 19:46

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#9 26. 05. 2011 20:08

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

Esperance napsal(a):

#10 26. 05. 2011 20:38

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#11 26. 05. 2011 20:53

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#12 26. 05. 2011 21:07 — Editoval Pavel Brožek (26. 05. 2011 21:08)

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#13 26. 05. 2011 21:11

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#14 26. 05. 2011 21:13

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#15 26. 05. 2011 21:15

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#16 26. 05. 2011 21:21

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#17 26. 05. 2011 21:42

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#18 26. 05. 2011 21:43

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

#19 26. 05. 2011 22:06

Re: Dokažte (integrály, řady, konvergence)

Zápatí