Matematické Fórum

ajucha · 27. 05. 2011 11:50

potřebovala bych poradit: Znám větu o derivaci inverzní funkce, ale pořebovala bych to ukázat na nějakém příkladě. Asi jsem tu větu nepochopila.
Když mám např fci: y=x^3 , tak inverzní k ní je y=x^(1/3)
Když udělám derivaci fce y=x^3 --> y´=3x^2
derivace inverzní fce: y´=1/(3*x^(2/3))
ale to mi podle věty nevychází, pochopila jsem jítak že derivace inverzní fce by měla být y´=1/(3x^2) ale to se nerovná?? poradte,kde dělám chybu?:)

Asinkan · 27. 05. 2011 12:53

Ahoj, větu o derivaci inverzní funkce najdeš zde. Tu větu jsi pochopila špatně, jelikož si všimni pímenek $a$ a $b$ . Pro písmenko $b$ platí $b=f(a)$ . V poznámce je pak obecný předpis a vyjde to, co potřebuješ. Ty si ve své úvaze uvažovala $a=b$ .

FailED · 27. 05. 2011 12:57 — Editoval FailED (27. 05. 2011 12:59)

Pro inverzní funkci k $y=f(x)$ platí $f_{-1}(y)=x$ , když si vezmeš grafy obou funkcí, mají v podstatě přejmenované a překlopené osy.
Zkus vykoukat z obrázku, že musí platit $\arctan (f'(x))+\arctan (f_{-1}'(y))=\pi$ neboli $f_{-1}'(y)=1/f'(x)$ , třeba pro lineární funkce, derivace jsou stejně jen směrnice.

ajucha · 27. 05. 2011 12:59

↑ Asinkan:
ano,uz to vidim. Ale kdyz tuto vetu mam ukazat na prikladu, tak jak budu postupovat? Nemohl bys mi to nanejakem prikladu ukazat?

Rumburak

↑ ajucha:
Stačí uvést na pravou míru ten Tvůj původní příklad . Tekže máme $f(x) := x^3$ , $g(x) := x^{\frac{1}{3}}$ , jde o funkce spojité
a navzájem inversní, jejichž společnýcn definičním oborem a zároveň i společným oborem hodnot je množina $\mathbb R$ .
Vezměme $v \ne 0$ *) a spočítejme $g'(v)$ podle věty o derivaci inversní funkce. Označme $u = g(v) = v^{\frac{1}{3}}$ , tedy $u \ne 0$ ,
$v = f(u)= u^3$ a $f'(u)= 3u^2 \ne 0$ . Podle věty o derivaci inversní funkce dostáváme

$g'(v) = \frac {1}{f'(u)} = \frac {1}{3u^2} = \frac {1}{3}\, u^{-2} = \frac {1}{3}\,( v^{\frac{1}{3}})^{-2} = \frac {1}{3}\,v^{-\frac{2}{3}} = \frac {1}{3}\,v^{\frac{1}{3} - 1}$ .

--------------------------------

*) Tuto podmínku jsme položili proto, aby bylo splněno $f'(u) \ne 0$ pro $u = g(v)$ , což další postup podle věty o derivaci
inversní funkce potřebuje.

********************

K té větě ještě obecná poznámka : u funkce $g$ , jejíž derivaci v bodě $v = f(u)$ takto počítáme, je nutno navíc předpoklátat, že je
v bodě $v$ spojitá, což v populárních příručkách (a bohužel dokonce i v Rektorysově Přehledu užité matematiky ! ) bývá opomíjeno.