Matematické Fórum

To je jen teoretický, nějak se na to přišlo, ale prostě definice Riemannova integrálu říká(Jestli mě pamět nášálí :-D): pokud se infimum horních integrálních součtů rovná supremu dolních integrálních součtů, pak se jedná o RI. Takže akorát zjemňujou dělení na 2 kosuky, 4,1,20..... a blížíme se k desítce.
Jde to udělat, když si načrtneš ten graf, rozdělíš to na 20 dílků a počítáš obdelníčky dolních a horních integrálních součtů. Obdelníčky !!! Pak čím víc zjemňuješ tu síť, tím víc se ten "odpad" zmenšuje.

↑ s-o-k-o-l:

Chci-li být přesný, tvrdím, že z historického hlediska není správné hovořit o Riemannových horních a dolních integrálních součtech. Pro dané dělení (fixní) existuje nekonečně mnoho Riemannových integrálních součtů (bez rozdílu horní nebo dolní), kde z každého subintervalu bereme nějakého reprezentanta.

Vzhledem k tomu, že dokazovat celou teorii integrálních součtů pouze podle Riemanna je komplikované, přišel cca 20 let po Riemannovi Gaston Darboux, který se úspěšně pokusil o charakteristiku Riemannovy integrability funkcí, a to právě pomocí zavedení dolních a horních integrálních součtů (správně s doplněním Darbouxových). Ukázal, že jím definovaný pojem (tzv. Darboxův určitý integrál vycházejícího z dolního a horního Darbouxova integrálu) je identický s pojmem Riemannova určitého integrálu. Zachoval se ovšem většinou (pro mě nepsrávný) název Riemannův integrál, i když konstrukce pochází od Darbouxe a ta původní Riemannova s jediným integrálním součtem je zásadně jiná.

V některých lepších učebnicích je toto striktně rozlišeno a já se s touto filosofíí striktního dělení velmi ztotožňuji. Lze se proto setkat správně buď s Darbouxovým určitým, integrálem popř. Darbouxovým-Riemannovým integrálem (tyto dva jsou shodné v definici) nebo Riemannovým určitým integrálem (liší se definicí od dříve jmenovaného, ale je s ním ekvivalentní). Mimo to existuje třeba i Cauchyův integrální součet, který se opět liší od dříve v textu příspěvku uvedených integrálních součtů.

Příkladem kvalitních učebnic, ve kterých se lze jednoznačně poučit, mohou být knihy:

[1] Amann H., Escher J. Analysis I-III. Birkhäuser Basel, 2008
[2] Burk F. A garden of integrals. MAA, 2007
[3] Kurtz D.S., Swartz, Ch.W. Theories of integration (The integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and McShane). World Scientific Publishing Comapny, 2004.

Uvést bych mohl podtstaně delší výčet kvalitních knih, které by potvrzovaly nesprávnost terminologie dnes používané a zažité. Osobně tyto jemné niance zásadně třídím a rozlišuji. Věřím, že je na fóru více takových.

↑ Honzc:
To je naprostá pravda, nějak jsem nehledal lepší obrázek.
Ja jen potř. nějak zobrazit ty obdelníčky, avšak pro příště určitě lepší hledat přesnější.