Matematické Fórum

jerevan · 01. 06. 2011 08:44

Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznáme) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t 2 R je parametr):
u1 = t 1 2 3 4 , u2 = 0 t 0 t 2t , u3 = 0 3 1 2 5 ,
u4 = 0 1 1 1 2 , u5 = 0 t 2 4 8 .

Jsem trošku zmatený z toho parametru, tady na foru jsem si našel, že se to počítá úplně stejně jako bez parametru. Normální matici řádu 5x5 bych upravil na horní nebo dolní trojúhelníkový tvar a pak jen vynásobil prvnky na hlavní diagonále. Jenže tady u této matice se u úprav zaseknu

(t 1 2 3 4)
(0 t 0 t 2t)
(0 0 2 7-t 8-2t)
(0 1 1 1 2)
(0 0 -2 -1 -1)

Když bych to řešil přes rozvoj, tak budu mít 4 determinanty řádu 4x4, což se mi zdá hrozně zdlouhavé... Můžete mi prosím poradit, jak postupovat rychle a efektivně? Děkuji

Geronimo · 01. 06. 2011 09:29

Ja bych to asi pocital laplaceovym rozvojem podle 1. sloupce. Potom ten determinant matice 4x4 bych pocital taky podle prvniho sloupce a na matice 3x3 pouzit saarusovo pravidlo.

jerevan · 01. 06. 2011 09:42

↑ Geronimo: Díky, ale jak jsem již psal, tak to je výpočet na půl hodiny minimálně... už jsem zjistil, jak to vypočítat. Musím to dopočítat s tím parametrem.

musixx · 01. 06. 2011 10:00 — Editoval musixx (01. 06. 2011 10:01)

Já bych nejprve ke druhému řádku připočetl -t násobek čtvrtého řádku a pak udělal Laplaceův rozvoj podle prvních dvou sloupců. Vznikne tak z toho jediný součin determinantu matice řádu dva s determinantem matice řádu tři a "znaménko".

jerevan · 01. 06. 2011 10:22

↑ musixx: to je dobrý, ale nevím jak to dopočítat. Vznikne mi
(t 1 2 3 4)
(0 0 -t 0 0)
(0 3 1 2 5)
(0 1 1 1 2)
(0 t 2 5 8)

ale nevidím, ty dva determinanty řádu dva a řádu tři. Laplaceův rozvoj vypočítám na většině lehkých příkladech, ale nevím jak u toho příkladu. Nemůžete mi to sem někdo napsat prosím...

musixx · 01. 06. 2011 12:29 — Editoval musixx (01. 06. 2011 12:34)

Po přičtení -t násobku 4. řádku k řádku 2. v matici

(t 1 2 3 4)
(0 t 0 t 2t)
(0 0 2 7-t 8-2t)
(0 1 1 1 2)
(0 0 -2 -1 -1)

vznikne matice

(t 1 2 3 4)
(0 0 -t 0 0)
(0 0 2 7-t 8-2t)
(0 1 1 1 2)
(0 0 -2 -1 -1)

Její rozvoj podle prvních dvou sloupců dává determinant

$(-1)^{1+2+1+4}\cdot\left|\begin{matrix}t&1\\0&1\end{matrix}\right|\cdot\left|\begin{matrix}-t&0&0\\2&7-t&8-2t\\-2&-1&-1\end{matrix}\right|$ .

Dokonce je ještě možná rychlejší dělat Laplace po úpravě podle druhého řádku.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

EDIT: Odpíchl jsem se od matice, kterou v původním příspěvku uvádíš, nikoli od původních vektorů.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2011 08:44

Determinant s parametrem

#2 01. 06. 2011 09:29

Re: Determinant s parametrem

#3 01. 06. 2011 09:42

Re: Determinant s parametrem

#4 01. 06. 2011 10:00 — Editoval musixx (01. 06. 2011 10:01)

Re: Determinant s parametrem

#5 01. 06. 2011 10:22

Re: Determinant s parametrem

#6 01. 06. 2011 12:29 — Editoval musixx (01. 06. 2011 12:34)

Re: Determinant s parametrem

Zápatí