#1 01. 06. 2011 15:54 — Editoval Prokop (01. 06. 2011 15:54)
iracionální nerovnice
Ahoj, potřeboval bych pomoct s řešením téhle nerovnice Odkaz ... Nejprve si udělám podmínku pro to, co může vyjít pod odmocninou - počítám kvadratickou nerovnici s výsledkem všechna reálná čísla. dále si musím udělat podmínku pro znaménka. levá strana bude vždycky kladná, ale potřeboval bych vysvětlit, jak udělat podmínky pro tu pravou stranu. jednak u tohodle příkladu, a taky to vysvětlit nějak obecně, co tou podmínkou vlastně ověřuju... postup řešení je mi jasný.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Prokop)
#4 01. 06. 2011 16:30
Re: iracionální nerovnice
↑ Prokop:
Když sis udělal podmínku pro odmocninu, zjistil jsi, že má smysl pro všechna reálná čísla. To je OK
Dále, odmocnina je vždy, když existuje, nezáporná: 
pravá strana ale může být záporná, když 
kdybys za této situace umocnil celou rovnici, udělal bys neekvivalentní úpravu. Např. když máš 
, tak to je dobře, ale když umocníš, dostaneš
, což je špatně.
Takže pro 
nesmíš tu nerovnici umocnit. ALe to nevadí, protože víš, že platí (nezáporné číslo je vždy větší než záporné)
Tím jsme odbyli první variantu:
a) -> nerovnice platí.
a teď druhou variantu
b) 
- oba výrazy nelevo i na pravo jsou nezáporné, můžeš bez problémů umocnit a vyešit nerovnici.
Vyřešíš, nezapomeneš na podmínku b)
Uděláš sjednocení řešení a) + b)
Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!
Offline
#5 01. 06. 2011 16:31
Re: iracionální nerovnice
V podstatě jde o to, že se chystáme "umocnit nerovnici na druhou" , ale na to je dobré se předem přípravit, abychom tím něco nepokazili,
nebo aspoň ne více, než je nezbytně nutné. Z nerovnosti a > b totiž obecně neplyne a^2 > b^2, odtud riziko, že bezmyšlenkovým umocněním
by se výpočet pokazit mohl.
Položme si nejprve otázku : ve kterých případech se formélním "umocněním nerovnice a > b na druhou" výpočet nepokazí ?
Neboli: za jakých předpokladů je implikace a > b ==> a^2 > b^2 platná ?
Odpověď : za přeepokladu b >= 0.
Speciálně pro naši nerovnici
(1) 
rozlišíme dva případy:
1. x - 3 < 0 : nerovnost (1) je pak splněna automaticky, neboť její levá strana je vždy nezáporná a nezáporné číslo je vžy větší než záporné ,
2. x - 3 >= 0 : za tohoto předpokladu je "umocnění nerovnice na druhou" korektní . Získaný výsledek ovšem nutno s tímto předpokladem
zkonfrontovat a případně zkorigovat, pokud bychom výsledky tohoto kroku nechtěli pomíchat s výsledky kroku předchozího.
Offline