Matematické Fórum

Prokop · 01. 06. 2011 15:54 — Editoval Prokop (01. 06. 2011 15:54)

Ahoj, potřeboval bych pomoct s řešením téhle nerovnice Odkaz ... Nejprve si udělám podmínku pro to, co může vyjít pod odmocninou - počítám kvadratickou nerovnici s výsledkem všechna reálná čísla. dále si musím udělat podmínku pro znaménka. levá strana bude vždycky kladná, ale potřeboval bych vysvětlit, jak udělat podmínky pro tu pravou stranu. jednak u tohodle příkladu, a taky to vysvětlit nějak obecně, co tou podmínkou vlastně ověřuju... postup řešení je mi jasný.

Phate · 01. 06. 2011 15:59

Ten odkaz mi bohuzel nejede.

Prokop · 01. 06. 2011 16:11

zdenek1 · 01. 06. 2011 16:30

↑ Prokop:
Když sis udělal podmínku pro odmocninu, zjistil jsi, že má smysl pro všechna reálná čísla. To je OK
Dále, odmocnina je vždy, když existuje, nezáporná: $\sqrt{x^2+x+2}\geq0$

pravá strana ale může být záporná, když $x-3<0$
kdybys za této situace umocnil celou rovnici, udělal bys neekvivalentní úpravu. Např. když máš $1>-5$ , tak to je dobře, ale když umocníš, dostaneš
$1>25$ , což je špatně.
Takže pro $x<3$ nesmíš tu nerovnici umocnit. ALe to nevadí, protože víš, že platí (nezáporné číslo je vždy větší než záporné)
Tím jsme odbyli první variantu:
a) $x<3$ -> nerovnice platí.
a teď druhou variantu
b) $x\geq3$ - oba výrazy nelevo i na pravo jsou nezáporné, můžeš bez problémů umocnit a vyešit nerovnici.
$x^2+x+2>(x-3)^2$

Vyřešíš, nezapomeneš na podmínku b)
Uděláš sjednocení řešení a) + b)

Rumburak · 01. 06. 2011 16:31

V podstatě jde o to, že se chystáme "umocnit nerovnici na druhou" , ale na to je dobré se předem přípravit, abychom tím něco nepokazili,
nebo aspoň ne více, než je nezbytně nutné. Z nerovnosti a > b totiž obecně neplyne a^2 > b^2, odtud riziko, že bezmyšlenkovým umocněním
by se výpočet pokazit mohl.

Položme si nejprve otázku : ve kterých případech se formélním "umocněním nerovnice a > b na druhou" výpočet nepokazí ?

Neboli: za jakých předpokladů je implikace a > b ==> a^2 > b^2 platná ?

Odpověď : za přeepokladu b >= 0.

Speciálně pro naši nerovnici

(1) $\sqrt{x^2 + x + 2} > x-3$

rozlišíme dva případy:

1. x - 3 < 0 : nerovnost (1) je pak splněna automaticky, neboť její levá strana je vždy nezáporná a nezáporné číslo je vžy větší než záporné ,

2. x - 3 >= 0 : za tohoto předpokladu je "umocnění nerovnice na druhou" korektní . Získaný výsledek ovšem nutno s tímto předpokladem
zkonfrontovat a případně zkorigovat, pokud bychom výsledky tohoto kroku nechtěli pomíchat s výsledky kroku předchozího.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2011 15:54 — Editoval Prokop (01. 06. 2011 15:54)

iracionální nerovnice

#2 01. 06. 2011 15:59

Re: iracionální nerovnice

#3 01. 06. 2011 16:11

Re: iracionální nerovnice

#4 01. 06. 2011 16:30

Re: iracionální nerovnice

#5 01. 06. 2011 16:31

Re: iracionální nerovnice

Zápatí