Matematické Fórum

pavlick · 03. 06. 2011 16:40

ve vyšší úrovni byl tento příklad
posloupnost zadaná rekurentně
$a_1=0\nl a_n+1=a_n*q+4$
k tomu byly 3 podúlohy: 1) vyjádřete $a_2, a_3, a_4$ v závislosti na $a_1 , q$
2) určete podmínku konvergence

3) vypočítejte limitu

+ uvést celé řešení do záznamového archu

a nejsem si jistý postupem u 2) a 3) části

Máte někdo nápad jak postpovat?

Dana1 · 03. 06. 2011 16:42

Takto? $a_1=0\nl a_{n+1}=a_n*q+4$

pavlick · 03. 06. 2011 16:45

ano

Phate · 03. 06. 2011 16:46 — Editoval Phate (03. 06. 2011 16:47)

↑ pavlick:
2.) musi platit nutna podminka konvergence, tedy $\lim_{n \to \infty}{a_n}=0$
3.) vyjadris si n-ty clen a zjistis, ze je tvaru geometricke rady s $a_1=4$ a $q=-\frac12$ ze zadani a pocitas soucet teto nekonecne rady.

pavlick · 03. 06. 2011 16:58

↑ Phate:
k 3) řešení přes součet nekonečné geometrické řady mě taky napadlo a počítal jsem to podle vzorce $s=a_1/(1-q)$ , vyšlo mi po dosazení 8/3
ale neumím si vyjádřit vzorec pro n-tý člen, ta NGŘ mě napadla logicky podle podúlohy 1)

ke 2) bez vzorce pro n-tý člen mě nenapadá jak to využít

Phate · 03. 06. 2011 17:03 — Editoval Phate (03. 06. 2011 17:04)

↑ pavlick:
Ano, 8/3 me vyslo take.
2) vypises si prvnich par clenu a z toho zjistis, ze $a_n=4q^{n-2}+4q^{n-3}+ \dots + 4q + 4$ . Ted to musis poslat limitne do nekonecna a polozit rovno nule

anes · 03. 06. 2011 17:38 — Editoval anes (03. 06. 2011 17:49)

Ta úloha se týkala konvergence řady nebo posloupnosti? V prvním příspěvku o řadě totiž nic nevidím. Chtělo by to buď doplnit zadání nebo přehodnotit řešení (při současném nevidím, proč by měla jít posloupnost jenom k nule)

EDIT: přiznám se, že vůbec nevím, o co tady jde. I kdyby se ptali na konvergenci řady, tak mi ty posty nade mnou nějak nesedí, takže možná je problém u mě (nevidím tedy, kde). V takovém případě se omlouvám.

Phate · 03. 06. 2011 18:00

↑ anes:
Asi v tom mam sam gulas, tak ten priklad budu mit asi blbe, co se da delat. Zadani bylo vysetrit kovergenci posloupnosti a pro jake q konverguje, takze to melo vyjit pro $|q|<1$ ?

anes · 03. 06. 2011 18:04 — Editoval anes (03. 06. 2011 18:12)

Už se v tom začínám orientovat. První věc je, že se tu někde v půlce stránky objevilo $q=-\frac12$ . Pokud toto nespadlo z nebe a bylo už v původním zadání (v prvním postu tedy není...), tak k 3) nemám výhrady.
Co se týče 2) tam se asi fakt ptají na K posloupnosti protože řada stejně nikdy K nebude, navíc dává lepší smysl, že se v úloze napřed zeptají, kdy posloupnost K a potom k čemu. Takže za mě odpověď $|q|<1$ .

EDIT:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Phate · 03. 06. 2011 18:09

↑ anes:
$q=-\frac12$ patri k 3) co si pamatuju
tak 2) mam teda asi spatne nevadi no

anes · 03. 06. 2011 18:34

↑ pavlick:
ten vzorec pro n-tý člen geom. řady tady ani nepotřebuješ, ale pro zajímavost.
platí $(1-x) ( 1 + x + x^2 + ... + x^n ) = (1-x^{n+1})$ ... stačí si pronásobit prvních pár členů a bude ti to jasné.
Někdo si to podělí těmi 1-x a pamatuje si to jako vzoreček. Já jsem líný a radši si vždycky rychle provedu tuhle úvahu, navíc tam pak není prostor pro chybu.
Taky vidíš, že pro $|x| < 1$ dostaneš po zlimicení ten tvůj vzoreček pro součet řady.

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2011 16:40

státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#2 03. 06. 2011 16:42

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#3 03. 06. 2011 16:45

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#4 03. 06. 2011 16:46 — Editoval Phate (03. 06. 2011 16:47)

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#5 03. 06. 2011 16:58

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#6 03. 06. 2011 17:03 — Editoval Phate (03. 06. 2011 17:04)

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#7 03. 06. 2011 17:38 — Editoval anes (03. 06. 2011 17:49)

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#8 03. 06. 2011 18:00

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#9 03. 06. 2011 18:04 — Editoval anes (03. 06. 2011 18:12)

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#10 03. 06. 2011 18:09

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

#11 03. 06. 2011 18:34

Re: státní maturita, rekurentní posloupnost, určení konvergence a limity

Zápatí