Matematické Fórum

lejzr · 02. 06. 2011 15:01

Potřeboval bych poradit s tímto příkladem. Předem se omlouvám za prapodivný zápis, ale lépe to neumím.

$\sum_{k=1}^{\infty}$ $x^{-k}$ * ${(a+bk)}$

Nevíte, co s tím?

Jenda358 · 02. 06. 2011 15:28

↑ lejzr:
A jaké je vlastně zadání? Co s tím máš dělat?

lejzr · 02. 06. 2011 16:10

A jo, to bych taky mohl napsat. Sečíst tuhle řadu.

lejzr · 02. 06. 2011 18:15

Já jsem se zatím pokusil to "rozdělit" na dvě řady, a to:

$a$ * $\sum_{k=1}^{\infty}$ $\frac{1}{x^k}$ + $b$ * $\sum_{k=1}^{\infty}$ $\frac{k}{x^k}$

Součet té první části chápu:

s = ${\frac{1}{1-1/x}}$ ; přičemž absolutní hodnota z (1/x)<1

Ale jak udělat součet té druhé?

lejzr · 03. 06. 2011 22:25

Nevíte někdo?

Stýv · 03. 06. 2011 22:36

podobná řada se řešila tady

BakyX · 03. 06. 2011 23:16

↑ lejzr:

Ahoj..Máme teda vypočítať:

$S=\sum^\infty_{k=1}\frac{k}{x^k}=k (\frac{1}{x})^k$

1. Metóda:

$S=1.(\frac{1}{x})^1+2.(\frac{1}{x})^2+3.(\frac{1}{x})^3+...$
$S.(\frac{1}{x})=1(\frac{1}{x})^2+2.(\frac{1}{x})^3+3.(\frac{1}{x})^4+...$

Odčítaním týchto dvoch identín dostaneme:

$S(1-\frac{1}{x})=\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x})^3+(\frac{1}{x})^4+...$

Súčet na pravej strane už dokážeme sčítať. Potom nie je problém vypočítať celý súčet $S$ .

2. Metóda:

$S=1.(\frac{1}{x})^1+2.(\frac{1}{x})^2+3.(\frac{1}{x})^3+...\\ S=\frac{1}{x}(1+2.(\frac{1}{x})+3.(\frac{1}{x})^2+...)$

Všimnime si, že zátvorka vznikne deriváciov súčtu $(\frac{1}{x})^1+(\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x})^3+...$ podľa $\frac{1}{x}$ . Tento súčet však vieme vypočítať, teda aj jeho deriváciu. Potom nie je problém dopočítať súčet S.

3. Metóda:

Uvažujme nekonečne veľa takýchto súčtov:

$(\frac{1}{x})^1+(\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x})^3+(\frac{1}{x})^4+(\frac{1}{x})^5...\\ (\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x})^3+(\frac{1}{x})^4+(\frac{1}{x})^5+...\\ (\frac{1}{x})^3+(\frac{1}{x})^4+(\frac{1}{x})^5+...\\ (\frac{1}{x})^4+(\frac{1}{x})^5+...$

Vidíme, že ak nekonečne veľa jednolitých súčtov sčítam, dostanem súčet S. Avšak jednolivé súčty sčítať môžeš a teda po chvíli počítania opäť vypočítam súčet S.