Matematické Fórum

↑ ajucha:
Opravdu má být ten obsah 1 ?

Nedávno tu byla tzv. Surveyor's Area Formula (↑↑ musixx:), která tu může být hodně nápomocna.

Označíme-li A=[0,0], B=[3,1], D=[x,y], pak z rovnoběžnosti musí být C=[x+3,y+1], a máme proto obsah vyjádřený pomocí x a y. Položíme rovno jedné a řešíme jednoduchou lineární diofantickou rovnici pro dvě proměnné.

Skrytý text:
Vyšlo mi nekonečně mnoho řešení, pro libovolné celé x takové, že x+1 je dělitelné třemi. Vrcholy rovnoběžníka značím matematicky kladně, tedy proti směru pohybu hodinových ručiček. Analogicky pro matematicky záporný směr, je-li třeba.

↑ ajucha: Musí přeci platit (vrcholy rovnoběžníka značme matematicky kladně). Když chci D=[x,y], pak mám C=[x+3,y+1]$. Ale to je jen o značení. Také jsem mohl vzít C=[x',y'] a měl bych D=[x'-3,y'-1], ale to jsem prostě nevzal. Na výsledku by to nic neměnilo.

Máme tedy rovnoběžník, jehož vrcholy jsou postupně [0,0], [3,1], [x+3,y+1] a [x,y]. Jak spočítat jeho obsah? No jakkoli, ale ta zmíněná zeměměřičova formulka povede rychle k cíli. Ať ale budeš počítat jakkoli, dojdeš k tomu, že ten obsah je roven 3y-x. Pak už jen položit toto rovno jedné a jinak než jako na (velmi jednoduchou) diofantickou rovnici se na to dívat nedá, protože jsou žádaná pouze celočíselná řešení.

Dokonce ani není třeba počítat souřadnice vrcholu C a stačí uvážit, že obsah rovnoběžníka ABCD je dvojnásobek obsahu trojúhelníka ABD, a protože A=[0,0], tak Surveyor's Area Formula dává výsledek de facto z hlavy.

↑ ajucha: No vždyť já jsem ten výsledek napsal jen pro kontrolu, až to budeš mít vypočítané. Dal jsem ti celý postup, ale některé jednotlivosti si musíš doplnit sama. Je to jednoduché -- zbývá spočíst ten obsah, položit roven jedné a řešit diofantickou rovnici (mezi řečí jsem vlastně všechno už vyřešil, projdi si celé vlákno pečlivě znova).

↑ musixx:
kdyz sem to pocitala pres S=(a+c)v/2   takmivysli 2 reseni: jedno to tvoje a druhe: C[x+3, (x+2)/3] D[x, (x-1)/3]    protoze jsem tam tu vysku pocitala pres vzdalenost bodu od primky a tamje absolutni hodnota... je to tak spravne?

↑ musixx: Promiň, už to vidím v tom skrytém textu. Šlo mi o to, že pokud se použijí vzorce zmíněné v prvním příspěvku od Ajuchy nebo Shoelace formula, vyjde obsah |3y-x|, nikoliv 3y-x.  Ale opravdu je to celkem drobnost.