Matematické Fórum

Sulfan · 11. 06. 2011 12:42

Dobrý den,
při řešení příkladu na přijímací zkoušky (ČVUT), jsem našel jednu úlohu, která vypadá následovně:

Ještě před řešením jsem uvážil, že číslo musí být ve tvaru $\left | z \right |\cdot (cosx+isinx)$ , dle definice:

Code:

Zápis nenulového komplexního čísla ve tvaru  nazýváme goniometrickým tvarem komplexního čísla .

To znamená, že mi ve výběru zbyly jen dvě možnosti, o kterých bych mohl uvažovat. Poté jsem spočítal absolutní hodnotu (která samosebou vyšla $2\sqrt{2}$ , a vybral druhý výsledek (aniž bych dále pokračoval ve výpočtu).

Při vyhodnocení mi však stroj odpověď označil jako špatnou a označil za goniometrický tvar třetí odpověď. Po zpětném roznásobení je jasné, že když použiji ten výsledek 3), tak vyjde původní číslo, ale jedná se opravdu o goniometrický tvar? Je možné goniometrický tvar vyjádřit taktéž se znaménkem $-$ ve vytknuté závorce nebo záleží na dohodě?

Děkuji za odpověď.

hradecek · 11. 06. 2011 12:56

↑ Sulfan:
Myslím že ano pretože platí: $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$

found · 11. 06. 2011 13:07 — Editoval found (11. 06. 2011 13:10)

Ahoj,

tak asi je dobré začít tím, že to komplexní číslo se dá přepsta do tvaru $z = 2 - 2i$

$|z| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Tady zatím nebyl žádný problém. Nyní se zaměřit na úhel...

$sin{ \varphi } = \frac{b}{|z|} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \nl \varphi = \frac{7\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}$

$cos \varphi = \frac{a}{|z|} = \frac{\sqrt{2}}{2} \nl \varphi = \frac{7\pi}{4}; \frac{\pi}{4}$

Pro cosinus jsou hodnoty stejné, ovšem pro sinus jsou hodnoty opačné. proto:
$cos \varphi = cos{\frac{7\pi}{4}} = cos{\frac{\pi}{4}} \nl sin \varphi = sin{\frac{7\pi}{4}} = -sin{\frac{\pi}{4}}$

A doplnil bych, že to, cos označil jako správné řešení, by bylo číslo 2 + 2i. Rozdíl v kvadrantu. :-)

Phate · 11. 06. 2011 13:20

↑ found:
Chybka, $\varphi = \color{red}\frac{7\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}$ ty jsi napsal dva tytez uhly. Jinak vysledek tedy ma byt $2\sqrt{2}\left (\cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) +i \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$ , ale jelikoz cos je funkce suda, takze $\cos x = \cos -x$ a sinus je funkce licha, tedy $\sin -x = - \sin x$ , tak to jde napsat tak, jak je to ve vysledcich.

found · 11. 06. 2011 13:21

↑ Phate:

V tom je problém?

Sulfan · 11. 06. 2011 13:22

Díky za řešení (řešit to samozřejmě umím, paritu goniometrických funkcí taky znám), ale ptal jsem se, jeslti když se ptají na goniometrický tvar, tak jestli ve výsledku může být mínus, protože mi to připadalo formálně nesprávně.

MartinK

↑ found:

$cos \varphi = cos{\frac{7\pi}{4}} = cos{\frac{\pi}{4}} \nl sin \varphi = sin{\frac{7\pi}{4}} = -sin{\frac{\pi}{4}}$

Zdravím :) podle mě
$\cos{\frac{7\pi}{4}}=-\cos{\frac{\pi}{4}}\nl \sin{\frac{7\pi}{4}} = \sin{\frac{\pi}{4}}$ Možná jen překlep :)

Phate · 11. 06. 2011 13:23

↑ found:
Ma to byt $\varphi = \frac{7\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}$ . Ted jsem si vsiml, ze to asi nebylo videt, odkud jsem to skopiroval. Bral jsem to z tech moznych velikosti uhlu pro sinus.

found · 11. 06. 2011 13:24

↑ MartinK:

Ahoj, já ti nevím... jedná se čtvrtý kvadrant, tam jsou hodnoty sinu rozdílné oproti prvnímu a hodnoty cosinu stejné jako hodnoty cosinu pro první kvadrant.

found · 11. 06. 2011 13:26

↑ Phate:

A jo, ne, to jsem špatně podal, nemyslel jsem to jako hodnoty možné pro sínus, ale jak se dá ta hodnota zapsat jinak, aby v tom byl vidět vztah s prvním kvadrantem. Ten úhel jsem bral jediný možný z té myšlenky, že z algebraického tvaru vidím, že se jedná o čtvrtý kvadrant. Za tu nejasnost se omlouvám.

MartinK · 11. 06. 2011 13:27

↑ found:
ok :) moje chyba. Samozřejmě máš pravdu :)

Sulfan · 11. 06. 2011 13:37

Přátelé, mohli byste mi tedy ještě zodpovědět tu základní otázku, na kterou jsem se od začátku ptal a to, jestli goniometrický tvar komplexního čísla můžeme vyjádřit jen jako $\left | z \right |(cos(x)+isin(x))$ , nebo může být klidně $\left | z \right |(cos(x)\pm isin(x))$ ?

found · 11. 06. 2011 13:39 — Editoval found (11. 06. 2011 13:40)

↑ Sulfan:

Ach... jistě, promň :D

To mínus tam samozřejmě být může. To, co jsem se snažil říci, je to, že pokud dostaneš pro nějaký úhel vztah

$sin \varphi = - sin \alpha$

pak napíšeš tvar:

$|z| ( cos \varphi + (-i sin \alpha ) = |z|( cos \varphi - sin \alpha )$

Sulfan · 11. 06. 2011 13:43

↑ found: Jo to platí, jen jsem byl ze školy zvyklý, že za goniometrický tvar se bral vždy výraz jen s plus. Proto mě to zmátlo. Ještě nechám topic otevřený, kdyby se k tomu někdo vyjádřil a díky!

found · 11. 06. 2011 13:45 — Editoval found (11. 06. 2011 13:52)

↑ Sulfan:

Určitě jsi ve škole 'nepřeváděl' úhly, nepletu se? :-) V tomhle případě bys tam nechal třeba úhel původní a napsal bys to jako $|z|( cos \frac{7\pi}{4} + i sin \frac{7\pi}{4} )$ . A i to by bylo samozřejmě dobře. :)

Sulfan · 11. 06. 2011 13:46 — Editoval Sulfan (11. 06. 2011 13:49)

jinak, to co jsi napsal naposled platí samozřejmě jen s předpokladem, že $\alpha =-\varphi$

edit: zatoulané mínus

Sulfan · 11. 06. 2011 13:48

↑ found: Převáděl a vím, že to tam může být klidně o to $2\pi$ libovolně posunuté.

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2011 12:42

Goniometrický tvar komplexního čísla

Code:

#2 11. 06. 2011 12:56

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#3 11. 06. 2011 13:07 — Editoval found (11. 06. 2011 13:10)

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#4 11. 06. 2011 13:20

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#5 11. 06. 2011 13:21

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#6 11. 06. 2011 13:22

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#7 11. 06. 2011 13:22 — Editoval MartinK (11. 06. 2011 13:25)

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#8 11. 06. 2011 13:23

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#9 11. 06. 2011 13:24

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#10 11. 06. 2011 13:26

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#11 11. 06. 2011 13:27

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#12 11. 06. 2011 13:37

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#13 11. 06. 2011 13:39 — Editoval found (11. 06. 2011 13:40)

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#14 11. 06. 2011 13:43

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#15 11. 06. 2011 13:45 — Editoval found (11. 06. 2011 13:52)

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#16 11. 06. 2011 13:46 — Editoval Sulfan (11. 06. 2011 13:49)

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

#17 11. 06. 2011 13:48

Re: Goniometrický tvar komplexního čísla

Zápatí